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课件网) 题型五 几何动态综合题 【典例1】 (2024·临沂一模)△ABC和△ADF均为等边三角形，点E，D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB，BC运动，运动到点B，C停止． (1)如图1，当点E，D分别与点A，B重合时，请判断：线段CD，EF的数量关系是_____，位置关系是_____； 类型一 动点、动线类探究 CD＝EF CD∥EF (2)如图2，当点E，D不与点A，B重合时，(1)中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明． [解] (1)∵△ABC，△ADF都是等边三角形， ∴EF＝AB＝CD，∠ADC＝∠FED， ∴EF∥CD． 故答案为CD＝EF，CD∥EF． (2)结论成立． 理由：如图，连接BF． ∵△ABC，△ADF都是等边三角形， ∴∠FAD＝∠BAC，AF＝AD，AB＝AC， ∴∠FAB＝∠DAC， ∴△FAB≌△DAC(SAS)， ∴BF＝CD，∠ABF＝∠ACD＝60°， ∵AE＝BD，AB＝BC， ∴BE＝CD＝BF， ∴△EFB是等边三角形， ∴EF＝BF＝CD，∠FEB＝∠ABC＝60°， ∴EF∥CD． [解] (1)证明：过点M作ME⊥AB于E，作MG⊥BC于G，如图1所示， ∴∠AEM＝∠MEB＝∠CGM＝∠NGM＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°， ∵ME⊥AB，MG⊥BC， ∴ME＝MG， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EBGM是正方形， (2)过点A作AF⊥BD于F，如图2所示， ∴∠AFM＝90°， ∴∠FAM＋∠AMF＝90°， ∵MN⊥AM， ∴∠AMN＝90°， ∴∠AMF＋∠HMN＝90°， ∴∠FAM＝∠HMN， ∵NH⊥BD， ∴∠AFM＝∠MHN＝90°， 【典例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，5)，(3，0)．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD． (1)直接写出坐标：点C_____，点D_____． (2)M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？ (3)点P是直线BD上一个动点，连接PC，PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠APC与∠PCD，∠PAB的数量关系． (－1，－2) (－1，3) (3)①如图1，当点P在线段BD上时，∠APC＝∠PCD＋∠PAB． ②如图2，当点P在BD的延长线上时，∠PAB＝∠PCD＋∠APC． ③如图3，当点P在DB的延长线上时，∠PCD＝∠PAB＋∠APC． (1)求点C和点D坐标； (2)如图，将点E向下移动1个单位长度得到点P，连接PC，PD，在y轴上是否存在点Q，使得△PCD与△QCD面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 类型二 图形形状变化类探究 9 [对点演练] 3．【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2＋b2，同理BD2＝a2＋b2，故AC2＋BD2＝2(a2＋b2)． 【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 200 在Rt△ACE中，由勾股定理，可得 AC2＝AE2＋CE2＝AE2＋(BC－BE)2，① 在Rt△BDF中，由勾股定理，可得 BD2＝DF2＋BF2＝DF2＋(BC＋CF)2＝DF2＋(BC＋BE)2，② 由①②，可得 AC2＋BD2＝AE2＋DF2＋2BC2＋2BE2＝2AE2＋2BC2＋2BE2， 在Rt△ABE中，由勾股定理，可得 AB2＝AE2＋BE2， ∴AC2＋BD2＝2AE2＋2BC2＋2BE2＝2(AE2＋BE2)＋2BC2＝2AB2＋2BC2＝2a2＋2b2． 【拓展提升】证明：如图，延长BO至点E，使BO＝OE，连接AE，CE． ∵BO是AC边上的中线， ∴AO＝CO， 又∵BO＝OE， ∴四边形ABCE是平行四边形， 【尝试应用】如图，过P作PH⊥BC于H， 则四边形APHB和四边形PHCD是矩形， ∴AB＝PH＝CD＝8，AP＝BH，P ... ...
