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课件网) 题型七 二次函数综合题 【典例1】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．点D(0，3)，连接AD． 类型一 线段、周长最值问题 (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段AO上一点(不含端点)，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ＝EQ，求△FEQ周长的最大值． (2)过点Q作QM⊥EF于点M，如图， 则∠QME＝90°， ∵FQ＝EQ，QM⊥EF， ∴EF＝2EM， ∵A(－4，0)，D(0，3)， ∴OA＝4，OD＝3， (1)求b的值； (2)请求出四边形ABDC的面积； (3)直线l绕点C逆时针旋转，与直线CA重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段AB交于点P，点P与点A，B不重合，点M为线段CP的中点． ①过点P作PE⊥CB于点E，PF⊥CA于点F，连接ME，MF，在旋转的过程中∠EMF的大小是否发生变化？若不变化，求出∠EMF的度数；若发生变化，请说明理由． ②在①的条件下，连接EF，请写出线段EF的最小值． ∴∠EMF＝∠PME＋∠PMF＝2∠MCE＋2∠MCF＝2(∠MCE＋∠MCF)＝2∠ECF． ∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝4， ∴∠ECF＝∠EBO＝45°， ∴∠EMF＝2∠ECF＝90°， 即在旋转的过程中，∠EMF的大小不变，其度数为90°． 【典例2】 (2024·东昌府模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过x轴上点A(－1，0)、点B(5，0)，过y轴上点C(0，－5)，点P(m，n)(0＜m＜5)是抛物线上的一个动点． 类型二 图形面积问题 (1)求该二次函数的表达式； (2)求四边形OCPB面积的最大值； (3)当点P的横坐标m满足2＜m＜5时，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，求使△PEF为等腰直角三角形的点P的坐标． (3)如图，∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9， ∴抛物线对称轴为直线x＝2， 当点P的横坐标m满足2＜m＜5时，点P在对称轴右侧， ∴PF＝2(m－2)＝2m－4， 由(2)知PE＝(m－5)－(m2－4m－5)＝－m2＋5m， 当PE＝PF时，△PEF为等腰直角三角形， ∴－m2＋5m＝2m－4， 整理得m2－3m－4＝0， 解得m＝4或m＝－1(不符合题意，舍去)， 此时n＝42－4×4－5＝－5，即点P(4，－5)， ∴当点P的坐标为(4，－5)时，△PEF为等腰直角三角形． [对点演练] 2．某数学试验小组在探究“关于x的二次三项式ax2＋bx＋3的性质(a，b为常数)”时，进行了如下活动． (1)【试验操作】 取不同的x的值，计算代数式ax2＋bx＋3的值． x … －2 －1 0 1 … ax2＋bx＋3 … 11 6 3 2 … 根据表格，计算出a，b的值； (2)【观察猜想】 试验小组组员通过观察表格，提出以下猜想： ①代数式ax2＋bx＋3的值随着x的增大而减小； ②当x＝1时，代数式ax2＋bx＋3有最小值，最小值是2． 上述猜想中正确的是：_____；(填写序号) ② (3)【验证猜想】 请对正确的猜想进行证明； (4)【归纳运用】 根据试验经验解决下列问题： 如图所示，小丽想借助院中互相垂直的两面墙(墙体足够长)，在墙角区域用6 m长的篱笆围成一个长方形小菜园．当AB为何值时，长方形小菜园ABCD的面积最大， 并求出最大面积． (3)证明：由(1)知ax2＋bx＋3＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2． ∵(x－1)2≥0， ∴(x－1)2＋2≥2， 当x＝1时，取等号， ∴x＝1时，代数式ax2＋bx＋3有最小值，最小值是2． (4)设AB＝x m，则AD＝(6－x)m，长方形的面积为S m2， 则S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9， ∵－1＜0， ∴当x＝3时，S有最大值，最大值为9， ∴当AB＝3 m时，长方形小菜园ABCD的面积最大，最大面积为 9 m2． 【典例3】 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C． 类型三 特殊三角形的存在性问题 (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)若点 ... ...
