重庆市第二外国语学校2024-2025学年春季学期半期考试 高2027级高一数学试题 （全卷共四大题，满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1.复数（为虚数单位）的虚部为（ B ） A. B. C. D. 2.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ A ） A.若则 B.若则 C.若则 D.若则 3.的内角所对边分别为,若,则角的大小（ A ） A. B. C. D. 4.按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是（ C ） A.腰和底边不相等的等腰三角形 B. 直角三角形 C.等边三角形 D. 三边互不相等的三角形 5.向量，，，在正方形网格中的位置如右图所示,若,则（ C ） A． B． C． D．3 6.是平面上一定点，P是中一动点且满足：，则直线AP一定通过的（ B ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 7.如图为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线的是（ C ） A． B． C． D． 8.解放碑是重庆标志建筑物之一,存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度,设解放碑杯杯高为,在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点的仰角为,且,则解放碑的高约为（ D ）（参考数据：） B. C. D. 【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案 【详解】由题知，设， 则， 又，所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9.已知向量，，则（ BCD ） A. 若与垂直，则 B.若，则 C.若，则的值为 D.若，则在方向上的投影向量坐标为 10.已知是虚数单位，以下四个说法中正确的是（ AD ） A. B. 复数复平面内对应的点在第三象限 C. 若复数满足，则 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 11.如图,在棱长为2的正方体中,为正方体的中心,为的中点,为侧面正方形内一动点,且满足∥平面，则（ ABD ） A.动点的轨迹是一条线段 B.直线与的夹角为 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过,,三点作正方体的截面,为截面上一点,则线段长度最大值为 【解析】 【分析】选项A：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B：分别取，的中点H，G，连接，，，；证明平面平面，从而得到点F的轨迹为线段GH.选项C：根据选项B可得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，从而可得到三棱锥的体积为定值.选项D：设为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为面， 从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥以为顶点的高. 【详解】 对于A：如图分别取，的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得， 且平面，平面，所以∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面， 所以点F的轨迹为线段GH，故A正确； 对于B:直线与的夹角为 对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面， 则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C不正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因为截面平面，平面平面，所以． 同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点． 在四棱锥中，侧棱最长，且． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12.已知向量，则向量的坐标___． 13.已知复数（为虚数单位）是关于的方程（为实数）的一个根，则___0___． 14.如图所示，在中，，且点为边的中点且，则的最大值为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.已知单位向量的夹角为. （1）求； （2）求与的夹角. 【分析】（1）由数量积的运 ... ...
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