2024-2025学年高一下学期第一次阶段性测试数学试卷 一、单选题 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（ ） A．2 B．4 C． D． 6．已知向量满足，则（ ） A． B． C． D． 7．设、、为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．设向量，满足，则以，，为边长的三角形面积最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．已知，则以下说法正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知向量，则下列命题正确的是（ ） A．存在，使得 B．当时，与垂直 C．对任意，都有 D．当时， 11．已知平面向量满足，则下列结论正确的是（ ） A． B．与的夹角为 C． D．的最大值为 三、填空题 12．已知，且，则 . 13．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一动点（含端点A，B）．若，则的取值范围是 ． 14．在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知、均为锐角，. (1)求，的值； (2)求的值. 16．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 17．如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为． (1)若，求点的坐标； (2)若，求． 18．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离. 19．已知扇形半径为1，，弧上的点满足. (1)求的最大值； (2)求最小值. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B B D D A ABD BD 题号 11 答案 BCD 12． 13． 14． 15．（1）因为均为锐角，所以. 又，所以. （2）根据第（1）问可知： 16．（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 17．（1）因为点在单位圆上且， 所以且，解得，即， 由三角函数的定义知，， 因为，且，所以， 所以， ，故． （2）因为， ， 解得，故． 18．（1）由题设定义知：， ，则余弦距离为； （2），又，则， ，则， 所以，结合，， 所以，可得或， 由，即，故，则， ， ， 所以，，则. 19．（1）由题设，构建如下图示的直角坐标系，且， 设，，则， 所以，，， 由，得， 即，，解得， 所以， 所以当时，取得最大值，且. （2）由（1）可得，， 所以 ， 因为，所以当，即当时，取得最小值是. ... ...
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