2024-2025 学年浙江省杭州学军中学高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数 = 1 + 2 ，则| | =( ) A. 13 B. 13 C. 5 D. 5 2.设 ， ， 是不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( ) A.若 // ， // ， // B.若 // ， // ，则 // C.若 // ， ， ∩ = ，则 // D.若 // ， ， ，则 // → → → 3.已知向量 ， 满足| | = 1，| | = 2 且 ⊥ ( + )，则 与 的夹角为( ) A. B. 2 C. D. 5 6 3 3 6 4.函数 ( ) = ln| | + 在[ , 0) ∩ (0, ]的图象大致为( ) A. B. C. D. 5.已知 ， 均为非零向量，其夹角为 ，则“sin = 0”是“| + | = | | | |”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .若 = 3， = 1， = 45°，则 =( ) A. 10 10 1 110 B. 10 C. 10 D. 10 7.在三棱锥 中， = = 4，∠ = 120°， = 6，点 在平面 上投影为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为( ) A. 100 B. 75 C. 80 D. 120 8.在自然界中，对称性无处不在．从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的 和谐与平衡．数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美．函数图像的对称性，例如轴对称和中 心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念．已知函数 ( ) = 2 1 + 1 2 + |2 1|，使 得不等式 (2 + 1) < ( + 2)成立的实数 的取值范围为( ) 第 1页，共 9页 A. ( ∞, 1) ∪ 23 , + ∞ B. 1, 2 3 C. 23 , 1 D. ∞, 2 3 ∪ (1, + ∞) 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数 1， 2，其中 为虚数单位，下列说法正确的是( ) A. 2025 = B. | 1| > | 2|，则 1 > 2 C. 2 2 21 1 = 1 D. 2 = 2 10.已知点 在△ 所在的平面内，则下列命题正确的是( ) A.若 为△ 的外心， = 6， = 4，则 = 10 B.若 为△ 的垂心， = 2，则 = 2 C.若 + 5 2 = 0 ，则△ 与△ 的面积之比为 1: 4 D.若 3 + 4 = ( > 0)，△ 的面积为 8，则△ 的面积为 14 11.已知函数 ( )， ( )的定义域均为 ，且 ( ) + ( + 2) = 1， ( ) ( + 1) = 1，若 = ( )的图 象关于直线 = 1 对称，则以下说法正确的是( ) A. ( )为奇函数 B. 32 = 0 C. ∈ ， ( ) = ( + 4) D.若 ( )的值域为[ , ]，则 ( ) + ( ) = + 1 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ = 45°， = = 2， ⊥ ，则这块菜地的面积为_____． 13.已知函数 ( ) = sin( + 6 ) 在 ∈ [ 6 , 2 3 ]上有两个零点，则 的取值范围为_____． 第 2页，共 9页 14.如图，矩形 ， = 3， = 2， ， 分别为边 ， 上的点，若∠ = 4，则△ 的面积的 最大值为_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 已知向量 = (2,4)， = (3, )， = (4, )，且 // ， ⊥ ． (1)求 与 的值； (2)若 = 2 + ， = + ，求向量 ， 的夹角的大小． 16.(本小题 15 分) 如图是一个以△ 1 1 1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ .已知 1 = 4， 1 = 2， 1 = 3， 1 1 = 2． (1)求几何体 1 1 1 的体积； (2)线段 1上有一动点 ，求使 1 + 最小时 的长． 17.(本小题 15 分) 设△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 2 cos + = 2 ， = 5． (1)求 ； (2)若△ 为锐角三角形，求周长的取值范围； (3)若△ = 5 3的内切圆半径 6 ，求△ 的面积 ． 18.(本小题 17 分) 已知函数 ( ) = log3(9 ... ...
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