2024-2025学年安徽省皖南八校高一下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省皖南八校高一下学期4月期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是( ) A. 三棱锥 B. 三棱台 C. 四棱锥 D. 三棱柱 3.，是平面内不共线的两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为( ) A. B. C. D. 4.已知的内角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的有两个，则的值可能为( ) A. B. C. D. 5.已知，是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量，的夹角( ) A. B. C. D. 6.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂的断点，两点间距离为( ) A. B. C. D. 7.如图，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为( ) A. B. C. D. 8.已知中，，，是外接圆的圆心，则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量，，则下列选项正确的是( ) A. ，能作为平面内所有向量的一组基底 B. C. D. ，的夹角为 10.已知，为复数，则下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 11.如图，一圆锥的侧面展开图中，，弧长为，则下列说法正确的是( ) A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥可以整体放入半径为的球内 D. 该圆锥可以整体放入边长为的正方体中 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 ． 13.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则的面积为 ． 14.有长度分别为，，，的线段各条，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为的四边形，如图，，，，，则组成的四边形面积的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数和它的共轭复数满足． 求 若是关于的方程的一个根，求复数的模长． 16.本小题分 记的内角，，的对边长分别为，，，已知． 求 若，，求的面积． 17.本小题分 如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的面积为． 求圆台的体积 在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是多少 18.本小题分 在平行四边形中，，，，是线段的中点，点在直线上，且． 当时，求的值 当时，与交于点，，求的值 求的最小值． 19.本小题分 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，满足，则称为这两个向量的“协方差”． 若，证明：． 已知向量，的夹角为，向量，的夹角为，且证明：． 在中，线段，为的两条内角平分线，点，分别在，边上，，且，求 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：设， 则， 则， 所以，解得，， 故； 是关于的方程的一个根， 是关于的方程的另一个根， ，解得，， ． 16.解：， ， ， 得， 又， 则． ，， 由正弦定理得， 则，， ， ， 得， 由余弦定理得， 得， 则的面积． 17.解：由，，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为， 设圆台的高为，则，所以， 所以圆台的体积为． 在梯形中，，即母线长为． 如图，由圆台性质，延长，，交于点， 由与相似，得，即，解得． 设该圆台的侧面展开图的圆心角为，则，所以， 在侧面展开图中，连接，，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，，， 由余弦定理得，所以． 验证知，由，，，得，此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意． 18.解：． 当时，，即为的中点，因为，，三点共线，设，则因为，，三点共线， ... ...