2024-2025学年浙江省台州市十校联盟高一下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省台州市十校联盟高一下学期4月期中联考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则( ) A. B. C. D. 2.已知平面向量，，若，则实数( ) A. B. C. D. 3.已知平行四边形，点，分别是，的中点如图所示，设，，则等于( ) A. B. C. D. 4.如图，已知等腰直角三角形是某个平面图形的直观图，若，斜边，则这个平面图形的面积是( ) A. B. C. D. 5.已知圆台的体积为，两底面圆的半径分别为和，则圆台的高为( ) A. B. C. D. 6.设，不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为( ) A. B. C. D. 7.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作登鹳雀楼而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处三点共线测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为( ) A. B. C. D. 8.中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为，，的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，，则此三角形面积的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题正确的是( ) A. 梯形可确定一个平面 B. 圆心和圆上两点可确定一个平面 C. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 D. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 10.下列有关复数的说法中其中为虚数单位，正确的是( ) A. B. 复数的虚部为 C. 复数为实数的充要条件是 D. 已知复数满足，则复数对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆 11.已知向量，的夹角为，，，，则( ) A. 在方向上的投影向量的模为 B. 在方向上的投影向量的模为 C. 的最小值为 D. 取得最小值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则_____． 13.在中，，，为的中点，，则_____． 14.在中国古代数学著作九章算术中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数，其中为虚数单位，． 若是纯虚数，求的值； 若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围． 16.本小题分 如图，在中，，，，将绕轴旋转一周形成了一个旋转体． 求这个旋转体的体积； 求这个旋转体的表面积． 17.本小题分 已知向量，． 求； 已知，且，求向量与向量的夹角． 18.本小题分 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． 求角； 若，，求的面积； 若，求的最大值． 19.本小题分 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． 已知向量，求； 设向量的夹角为，证明：； 在中，为的中点，且，若，求． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由是纯虚数，则， 解得 故． 由在复平面内对应的点在第三象限， 解得，即， 故的取值范围为． 16.解：如图所示． 在中，，，， ． ， 设旋转体的底面面积为，旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为和， 则旋转体的体积 ． 由得旋转体的表面积 ． 17. 18.解：向量，， 因为，所以． 由正弦定理，得， ，， ，， ，为的内角， 所以． 由余弦定理，得， 已知 ，， ， ， 因为， ， 则 ； ， ，， ， ， ， ，， 的最大值为． 19.解：由，， 可得：； 证明：因为 ， 且，， 则， 所以． 因为为中点， ... ...