考点十 截面与轨迹长度（选填题8种考向） 考向一 截面形状的判断 【例1-1】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（ ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【解析】】如图， 因为点、满足， 点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点， 延长与交于点，连接交于， 延长交于点，连接交于，连接， 则五边形为所求截面图形. 故选：B． 【例1-2】（2025北京）在正方体中，和的中点分别为，．如图，若以，，所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为 A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【解析】在一个棱长为12的正方体中，和的中点分别为，， 如图，截面与交于点，且点不会为或点， 截面与交于点，且点不会为或点， 截面有，，，，共计5条边， 过，，三点的平面被正方体所截得的截面图形为五边形． 故选：． 【例1-3】（2024湖北）如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱上的一动点，过点，，作该正方体的截面，则该截面不可能是 A．平行四边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【解析】当，即与重合时，如图1，取的中点，截面为矩形； 当时，如图2，截面为平行四边形； 当时，如图3，截面为五边形， 当，即与重合时，如图4，截面为等腰梯形． 故选：． 【例1-4】（2024·四川达州·二模）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（ ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】A 【解析】B选项，当点与重合时， 取中点，因为是中点，则，且， 连接，则四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形为矩形，故排除B选项； C选项，当点与重合时， 取中点，因为是的中点，所以， 连接，截面四边形为梯形，故排除C选项； D选项，当点为中点时， 因为是中点，所以且， 连接，则四边形是平行四边形， 又因为，， 因为是正方体，所以，所以， 所以平行四边形是菱形，故排除D选项； 不管点在什么位置，都不可能是三角形. 故选：A. 【例1-5】（2024·浙江杭州·模拟预测）（多选）已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（ ） A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形 C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个 【答案】AD 【解析】如图所示，设过点的截面交底面于点，且， 因为过点的平面将正四面体的体积平分，即平分的面积， 可设正四面体的棱长为， 可得，解得，且， 对于A中，在中，可得， 在中，可得， 在中，可得， 则，即， 同理可得，， 即在中，任意的两边的平方和大于第三边，所以为锐角三角形，所以A正确； 对于B中，若截面为等边三角形，则满足， 若，即，可得， 此时，可得， 所以截面不是等边三角形，所以B错误； 对于C中，当点与点重合时，要使得平面平分三棱锥的体积， 即平分的面积，此时为的中点，此时， 则中，边取得最小值，且，且， 可得，此时的最大角为锐角， 所以不能为直角三角形，所以C错误； 对于D中，当过点截面过底面的一个顶点和对边的中点时， 如图（1）所示，得到截面，,，此时， 此时三个三角形都为等腰三角形，且满足把正四面体的体积平分； 如图（2）所示，在的边长上分别取， 使得，连接， 使得恰好平分的面积，此时截面恰好平分正四面体的体积，且为等腰三角形， 综上可得，截面为等腰三角形的有6个，所以D正确. 故选：AD. 【例1-6】（2025陕西）如图所示，棱长为1的正四面体形状的木块，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（ ） ①截面是矩形；②截面不是平行四边形；③截面的面积为；④截面与侧面的交线平行于侧面. A．1 B． ... ...
