2024-2025学年高考数学第二轮考向分类专项复习考点十一空间几何(选填题15种考向)(学生版+解析)

考点十一 空间几何（选填题15种考向） 考向一 空间几何体的体积 【例1-1】（2025·云南昆明·一模）一个内角为且斜边长为2的直角三角形，绕斜边旋转一周所得几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，在直角三角形中，，则， 将直角三角形沿斜边旋转一周，旋转形成的几何体为两个同底的圆锥， 如图所示， 有， 所以所求几何体的体积. 故选：D 【例1-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，由题意知. 几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，其中圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，半球的半径为1， ，， 故该几何体的体积为. 故选：A. 【例1-3】．（2025高三·全国·专题练习）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据定义知上、下两个几何体分别为小圆锥和圆台，设小圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为，原圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为 由小圆锥的侧面积为：，大圆锥的侧面积为：， 上下两个几何体的侧面积之比为， 所以，又由相似易得：， 所以得，即， 所以小圆锥和原圆锥的体积比， 所以小圆锥和圆台的体积之比为． 故选：D． 【例1-4】（2025·贵州黔东南·一模）已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知第一个正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm， 如图：设第一个四棱台上下底面中心为，连接， 结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形， 且，故， 即棱台的高为，则第二个正四棱台的高为， 故第二个正四棱台的体积为. 故选：C. 【例1-5】（2025·天津南开·一模）如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设及平行六面体的结构特征易知，面，面， 所以面，则上任意一点到面的距离为定值， 又，则， 由的底面面积是平行六面体底面面积的一半，且高相等， 所以. 故选：D 考向二 空间几何体的 表面积 【例2-1】（2025·四川自贡·二模）已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为，，， .故选：B. 【例2-2】（2025·黑龙江·一模）已知圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径，母线， 所以圆锥的表面积.故选：D. 【例2-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（ ） A． B． C． D．18 【答案】A 【解析】由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为和， 设在底面内的射影为，作于， 平面，平面，则有， 又，，平面，所以平面， 平面，所以， 由，，，则， 又，所以，则， 故三棱台的侧面积为，表面积为. 故选：A. 【例2-4】（2025·陕西西安·二模）已知正四棱锥的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积为 . 【答案】60 【解析】设正四棱锥的边长为，高为，斜高为， 由题意可得， 所以斜高， 所以该四棱锥的侧面积为. 故答案为：60. 考向三 外接球 【例3-1】（2025·陕西商洛·三模）已知正 ... ...