第6讲 空间线段以及线段之和最值问题 一、单选题 1．（2025·高三·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 根据题意，截面是边长为的正方形，为的中点. 点在上，在线段上取点，使得. 根据正方形的对称性，则，所以， 表示点沿着折线到直线的距离. 取的中点，则，根据垂线段最短可得：. 所以的最小值为. 故选：A 2．（2025·高三·辽宁·期中）已知高为的正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（ ） A．平面与平面的夹角为 B．球的体积为 C．的最小值为 D．与平面所成角度数的最大值为 【答案】D 【解析】 对于：取中点为，连接，则， 所以平面与平面的夹角为， 因为，所以，， 又高为，所以， 所以，即平面与平面的夹角为.故错误； 对于：，所以点到各个顶点的距离都为， 所以点即为正四棱台的外接球的球心， 所以球的半径为，所以球的体积为，故错误； 对于：易得平面，且平面， 所以平面平面， 连接，交于点，连接，则四边形为菱形， 所以，，又平面， 平面平面， 所以平面，连接， 因为平面，所以， 所以，所以， 当且仅当点与重合时等号成立，故错误； 对于：因为平面，垂足为， 平面，所以为直线到平面的距离， 所以点到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以， 当且仅当点与重合时等号成立， 所以与平面所成角度数的最大值为，故正确. 故选： 3．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】D 【解析】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，故A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为，故B错误； 对于C，因为为等腰三角形，，又，所以， 当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值， 又因为与不重合，则，又，可得，故C错误； 对于D，由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图可知， 因为， ， 则，故D正确； 故选：D. 4．（2025·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ） ①异面直线与所成的角为45°； ②此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ③若点为棱上的动点，则的最小值为； ④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对①：连接，取中点，连接、， 由题意可得、为同一直线，、、、四点共面， 又，故四边形为菱形， 故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角， 即异面直线与所成的角等于，故①错误； 对②：由四边形为正方形，有， 故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等， 即此八面体的外接球球心为，半径为， 设此八面体的内切球半径为， 则有，化简得， 则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故②正确； 对③：将延折叠至平面中，如图所示： 则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值， 则，故③错误. 对于④，设三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有， 解得， 由②可知，点到平面的距离为， 所以， 这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动， 它的周长是， 根据对称性可知动 ... ...
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