第10讲 立体几何装液体问题 一、单选题 1．（2025·广西南宁·模拟预测）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，正方体，若要使液面形状不可能为三角形，则当平面平行于水平面放置时，液面必须高于平面，且低于平面.若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形.设液体的体积为，则，而，，所以液体的体积的取值范围为. 故选：B. 2．（2025·湖北宜昌·一模）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（ ） ①液面刚好同时经过，，三点； ②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为； ③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】①若液面刚好同时经过,,三点,则液体的体积为四棱锥, 因为,所以①正确； ②当平面与液面成直二面角时,即为图2的位置,设液面与直三棱柱的交点为,如图所示, 因为直三棱柱的体积为, 所以直棱柱的体积为, 所以,即,则在中边上的高为, 因为在中边上的高为,所以液面与水平桌面的距离为,所以②正确； ③当液面刚好同时经过,,三点时,如图所示, 此时,则, 易得,则中边上的高为, 所以, 设点到平面的距离为,则,即, 即液面与水平桌面的距离为, 由棱柱的对称性可得点到平面的距离为,设与液面所成角为, 则,所以③正确, 所以①②③正确, 故选:D 3．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 设圆柱底面半径为，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底，为高的柱体， 因为水面过的中点，则， 则弓形的面积为， 当底面圆水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为， 则由水的体积不变可得：，即， 解的：. 故选：. 4．（2025·云南丽江·一模）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意知，水的体积为，如图所示， 设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于， 由题意知，水的体积为， 所以，即，解得， 在平面内，过点作交于， 则四边形是平行四边形，且， 又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角， 即侧面与平面所成的角,其平面角为， 在直角三角形中，. 故选：C. 5．（2025·高二·湖北·期中）如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ） A． B．向量在向量上的投影向量为 C．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 【答案】C 【解析】对A：由正方体性质知：，， 且、面， 所以面，又面，则， 由，故与不垂直，故A错误； 对B：由题意且，若是交点，连接， 所以， 故为平行四边形，则，， 所以所成角，即为所成角， 由题设，易知， 在中， 即夹角为，所以夹角为， 故向量在向量上的投影向量为： ，故B错误； 对C：令放在桌面上的顶点为， 若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等， 此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积 ... ...
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