第9讲 外接球、内切球、棱切球问题 一、单选题 1．（2025·高三·安徽·阶段练习）在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ） ①异面直线与所成的角为45°； ②此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ③若点为棱上的动点，则的最小值为； ④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（ ） A． B．2 C．3 D． 4．（2025·黑龙江·二模）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北·二模）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（2025·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．（2025·福建厦门·二模）已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．（2025·高三·重庆·期末）在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．（2025·江西新余·模拟预测）“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）. A． B． C． D． 11．（2025·湖北·模拟预测）已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．（2025·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ） A． B． C． D． 13．（2025·四川·一模）一正四棱锥，，当其外接球半径与内切球半径之比最小时，为（ ） A． B． C． D． 14．（2025·四川德阳·模拟预测）圆锥的表面积为，其内切球的表面积为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 15．（2025·天津·一模）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面 ... ...
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