第1讲 空间几何体的截面图形 1．（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作平面，垂足为，取的中点，外接球的球心为，连接， 易得为的中心，则，所以， 设外接球半径为，则，即，解得， 当垂直过的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长， 最小面积为， 当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为， 故截面面积的取值范围是. 故选：B. 2．（2025·高三·广东清远·开学考试）正方体中，分别是、、的中点，则（ ） A．直线与是平行直线 B．过三点的平面与正方体的截面是六边形 C．直线与平面所成角的正切值是 D．若正方体的棱长为2，则点到平面的距离是 【答案】B 【解析】 对于B, 如图，取各边的中点，根据正方体的结构特征及平面的基本性质知，过三点的截面为正六边形，正确； 对于A，由B知截面为六边形，平面，面， 而不经过点，故与是异面直线，错误， 对于C，因为平面,所以是与平面所成的角， 设正方体的棱长为2，所以， 所以，所直线与平面所成角的正切值是，错误， 对于D，因为正方体的棱长为2， 设到平面的的距离为，,, 故, 因此，错误， 故选：B 3．（2025·高二·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（ ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【解析】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 4．（2025·四川资阳·二模）已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设球O的半径为R，则，解得. 因为点A到球心O的距离为3， 所以过点A的平面被球O所截的截面圆的半径的最小值为， 则所求截面面积的最小值为. 故选：C 5．（2025·高三·全国·专题练习）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】B 【解析】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得． 设圆柱底面半径为r， 则，所以， 设椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，得， 则， 即，所以， 得， 又由勾股定理得，解得，故． 故选：B. 6．（2025·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，所以，解得， 过作，交于，连接，取的中点，连接， 设， ①当时，平面BDE截直三棱柱所得的截面为正方形，面积为， ②当时，因为，，所以四边形为平行四边形，则，， 因为，分别为，的中点，所以，， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，且 则，，即平面BDE截直三棱柱所得的截面为梯形 在中，，，，则， 在中，，，，则， 在中，，，，则，则 过作垂足为，过作垂足为，所得平面图形如下; 则，，，， 设，则 所以，，因为， 化简可得：，则， 所以， 因为当，所以，则， 综上，平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的范围为 故选：A 7．（2025·高二·北京·期中）如图，正四面体的棱长2，过棱AB上任意一点做与AD，BC都平行的截面，将正四面体分成上下两部分，记，截面上方部分的体积为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． ... ...
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