第2讲 空间几何体运动轨迹与长度问题 一、单选题 1．（2025·高三·安徽芜湖·阶段练习）已知四面体满足动点在四面体的外接球的球面上，且则点的轨迹的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，将该四面体放置在一个长方体中， 由题可知长方体的长、宽、高分别为 体对角线长为 其外接球半径 因为所以点的轨迹为一个圆，设其半径为 则即解得 或即此时无解， 故所求长度为． 故选：C． 2．（2025·浙江台州·一模）已知球的半径为，是球表面上的定点，是球表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，以球的球心为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为球的半径为，则，设， 则，，所以， 又，，则，得到， 如图，在线段取点，使，所以线段轨迹为圆锥的侧面， 又，则，所以圆锥的侧面积为， 所以线段轨迹的面积为， 故选：C. 3．（2025·高三·浙江宁波·期末）已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为，所以，平面，所以平面， 由于点 P 始终保持 PE 垂直于 BC ，且 P 在正四面体表面运动，因此 P 的轨迹为平面 与正四面体表面的交线，即的边界. 为等腰三角形，其中 AD 为底边，长为2，AE 和 DE 为腰，长均为. 因此，三角形 的周长为. 故答案为 ：D . 4．（2025·高二·北京·期末）在正方体中，点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为（ ） A．一段圆弧 B．一段抛物线 C．一段椭圆 D．一条线段 【答案】D 【解析】取的中点M，连接并延长交的延长线于N， 由，可得，所以，所以A为的中点． 连接，由正方体可得， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面． 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 又因为点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面， 所以，即点Q的轨迹是线段， 故选：D． 5．（2025·高二·北京·期中）如图，在直三棱柱中，是边长为4的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ） A． B． C． D．π 【答案】C 【解析】取中点P，连接，的中点为，如图， 是中点，是等边三角形，所以， 又N为棱上的中点，由直三棱柱性质知， 又因为，平面， ∴平面，又平面，∴平面⊥平面， 过N作,为垂足， 又平面 平面，平面，∴⊥平面， 所以O点轨迹是在平面内且以为直径的圆弧， 当点M在点C时，O点位于P点，当点M到点时，O点到最高点， 此时， 所以直角中， ，从而，∴弧长， ∴当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为. 故选：C. 6．（2025·高二·北京·开学考试）在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（ ） A．拋物线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．以上都不对 【答案】B 【解析】 如图建系，设正方体边长为，则， 可得， 又因为，所以， 化简得，即得， 动点的轨迹为椭圆的一部分. 故选：B. 7．（2025·高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则下列说法不正确的是（ ） A．当为的中点时，异面直线与所成的角为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，点到的距离可能为 D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 【答案】B 【解析】因为四边形为正方形，连接，相交于点，连接，则两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，为的中点， 则，当为的中点时，，从而， 设异面直线与所成的角为，则， 因为，故，A正确； 取为的中点，连接，则，又平面平面，故 ... ...
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