2025年高考数学立体几何压轴专题第5讲体积、面积、周长、距离最值与范围问题(学生版+解析)

第5讲 体积、面积、周长、距离最值与范围问题 一、单选题 1．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列说法中不正确的有（ ） A．三棱锥体积的最小值为 B．三棱锥体积的最大值为 C．直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角 D．直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角 2．（2025·高三·重庆南岸·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·高三·内蒙古赤峰·期末）如图，与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，，M为的中点，现将沿翻折，得到三棱锥，记二面角的大小为，，下列说法不正确的是（ ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．与平面所成角的正切值最大为 D．记三棱锥外接球的球心为O，则的最小值为 5．（2025·福建厦门·二模）已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·模拟预测）若正六棱锥的体积为，则PA的最小值为（ ） A． B．3 C．4 D． 7．（2025·高三·山东·开学考试）已知正方体的棱长为3，平面平面且与线段，分别交于点，则长度的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 8．（2025·黑龙江·一模）如图，是圆台上底面的圆心，，是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为，．若，平面，且的最小值为6，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 9．（2025·高三·全国·专题练习）图甲是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上、下底面中心，将其上底面绕直线l顺时针旋转，得图乙所示几何体．已知为正三角形，若将图乙所示几何体放在一个球形容器内，则该球形容器表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 上、下底面的外接圆半径均为， 故该几何体的外接球球心O是线段MN的中点． 球心O到两底面的距离均为． 如图5，取EF的中点H，连接MH，BH，则，， 且，连接NB，则，． 在直角梯形MNBH中，，， 所以， 所以． 连接OB，则OB的长为外接球半径R， 在中，， 于是该几何体外接球的表面积为． 故选：A． 10．（2025·高二·四川成都·期中）已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 11．（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）在正方体中，N是上靠近点B的一个四等分点，M是棱上的动点，若平面与平面所成锐二面角的最小值为θ，则（ ） A． B． C． D． 12．（2025·高三·全国·专题练习）已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（ ） A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形 B．所在的平面与正方体表面的交线为六边形 C．长度的最大值是2 D．长度的最小值是 13．（2025·高二·山西太原·期中）在如图所示的试验装置中，正方形框的边长是，矩形框中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在线段和上移动，则的长的最小值为（ ） A． B． C． D． 14．（2025·高二·浙江·阶段练习）正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 15．（2025·高三·山东青岛·期末）如图，正方形的边长为1，为等边三角形，将分别沿向上折起，使得点D，E重合并记为点P．若三棱锥可以在一个圆柱内任意转动，则此圆柱表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 16．（2025·高三·云南文山·期末 ... ...