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课件网) 专题四 一线三等角模型 如图，三个相等角（∠1＝∠2＝∠3）的顶点在同一条直线上，可 利用三角形外角的性质定理得到两个三角形另一组角相等，进而可得 中间等角两侧的两个三角形全等或相似（△ACP≌△BPD或 △ACP∽△BPD）.在具体运用该模型时，有边相等证全等，无边相等 证相似. （1）如图①，点P在线段AB上（同侧型）：∠CPB＝∠2＋ ∠BPD＝∠1＋∠C→∠BPD＝∠C. （2）如图②，点P在线段AB的延长线上（异侧型）：∠CPB＝ ∠3－∠BPD＝∠1－∠C→∠BPD＝∠C. 1. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB边上一点， AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F. 若AE＝5，BF＝3，则AB的长 为 2 ，DF的长为 . 2 2. 如图，在等边三角形ABC中，点P，D分别在边BC，AC上，且 ∠APD＝60°.若PB＝3，CD＝2，则AB的长为 . 9 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD ＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC. 若△ABC的面积 为15，则△ABE和△CDF的面积之和为 . 10 4. 如图，Rt△ABC的直角顶点C在x轴的正半轴上，已知A（0，4）， B（4，1），则点C的坐标为 . （2，0） 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点D在边AC上，AD的垂直平分 线交BC于点E. 若∠AED＝∠B，CE＝3BE，则CD的长为 . 2 6. 如图，在平面直角坐标系中，A是双曲线y＝ （x＞0）上任意一 点，连接OA，作OB⊥OA交双曲线y＝ （x＜0）于点B. 若OA＝ 2OB，则 的值是 . －4 7. 如图，D是等边三角形ABC边AB上的点，AD＝2，BD＝4，现将 △ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC 和BC上，则 的值为 . 8. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，过点E作 EF⊥AE，交CD于点F，连接AF，求AF的最小值. 解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝ ∠C＝90°， ∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵EF⊥AE，∴∠CEF＋∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF. 又∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF， ∴ ＝ .设BE＝x，则 ＝ ， 整理可得CF＝－ x2＋x＝－ （x－2）2＋1，∴当x＝2时，CF取得 最大值为1， 当CF取得最大值1时，DF取得最小值为3. ∵AF＝ ＝ ＝5，∴当DF＝3时，AF取得最小值 为5. 9. 如图，在 ABCD中，AB＝6，∠A＝120°，点E，F分别在边 BC，AB上，DE＝EF，∠DEF＝120°.若CE＝2，求 ABCD的周 长. 解：如图，在BC上截取BG＝BF，连接FG. ∵AD∥BC，∠A＝120°，∴∠B＝60°，△BFG为等边三角形， ∴GF＝BF＝BG，∠BGF＝60°，∴∠FGE＝∠C＝120°. ∵∠FEC＝∠DEF＋∠DEC＝∠EFG＋∠FGE，∠DEF＝∠FGE＝ 120°， ∴∠DEC＝∠EFG. 又∵DE＝EF，∴△DEC≌△EFG（AAS）， ∴GF＝CE＝2，EG＝DC＝AB＝6，∴BC＝BG＋EG＋CE＝10. ∴ ABCD的周长为2（AB＋BC）＝ 2×（6＋10）＝32. 10. 如图，已知点A（3，0），点B在y轴的正半轴上，将线段AB绕 点A顺时针旋转120°得到线段AC，若点C的坐标为（7，h），求h 的值. 解：如图，在x轴上取点D，E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点 C作CF⊥x轴于点F， ∴∠CEF＝60°，EF＝ ＝ h，CE＝ ＝ h. ∵∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝∠ADB＋∠ABD，∠ADB＝∠BAC＝ 120°， ∴∠CAE＝∠ABD. 又∵AC＝BA，∴△ACE≌△BAD（AAS）， ∴AD＝CE＝ h，∴OD＝OA－AD＝3－ h，∴AE＝BD＝ 2OD＝6－ h. ∵OA＋AE＋EF＝OF＝7，∴3＋6－ h＋ h＝7，解得h＝ . 谢谢观看 ... ...
