第四章 三角形 重难点12 几何压轴题二 相似模型 （6大类型20种模型详解+20种模型专题训练） 【题型汇总】 类型一 A型模型 类型 A型模型 作平行线构造A型相似 条件 DE∥BC 点D在线段AB上 图示 结论 ADE∽ ABC 过点D作DE//BC交AC于点E，得“A字”相似模型，将转化为 如图2，过点B作BC//DE交AE的延长线于点C，得“A字”相似模型,将转化为 题型01 直接用A型相似 1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，，拉杆， ，米，则两梯杆跨度、之间距离为（ ） A．2米 B．米 C．米 D．米 2．（20-21九年级上·吉林·阶段练习）如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（ ） A．9 B．12 C．15 D．18 3．（2024·广东东莞·二模）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点P，且，垂足为点D． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 题型02 构造A型相似 1．（2020·湖北武汉·一模）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ． 2．（20-21九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 3．（2020·浙江杭州·一模）如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且＝m，＝n． （1）若点O是线段BC中点． ①求证：m+n＝2； ②求mn的最大值； （2）若＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）． 题型03 反A型模型 类型 条件 图示 结论 反A型模型 ∠1=∠2 ADE∽ ABC， AD AC=AE AB 作垂线构造反“A”字相似模型 ∠B=90°，E为AB上的一点 ADE∽ ABC，AD AC=AE AB 1．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为 ． 2．（2020·山东潍坊·二模）如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 3．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°． （1）求BC边上的高线长． （2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF． ①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数． ②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长． 4．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接． (1)求证：； (2)当时，则_____；_____；_____．（直接将结果填写在相应的横线上） (3)①记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由． ②当，时，试用含m，n，p的式子表示． 5．（2023·湖北武汉·模拟预测）【问题背景】（1）如图1，中，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，中，，平分，于点，过点作的平行线交于点，作于点，猜想与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明； 【问题拓展】（3）在（2）上述条件下，当时，直接写出的正切值． 题型04 作垂线构造反“A”字相似模型 1．（2024 九年级·江苏连云港·阶段练习）如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为 ． 类型二 X型模型 类型 X型模型 作平行线构造X型相似 条件 AB∥CD =k 图示 结论 AOB∽ COD 过点D作CD∥AB，交AO的延长线于点C，则可构造 AOB∽ ... ...
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