江苏省苏州市苏州大学附中2024-2025学年高二（下）月考数学试卷（3月份）(含详解)

江苏省苏州大学附中2024-2025学年高二（下）月考数学试卷（3月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，的值为( ) A. B. C. D. 2.某学生在书店发现本好书，决定至少买其中的本，则购买方法有( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3.下列求导的运算中，正确的是( ) A. B. C. D. 4.若直线与曲线相切，则的最小值为( ) A. B. C. D. 5.已知函数则下列结论中正确的是( ) A. 函数既有最小值也有最大值 B. 函数无最大值也无最小值 C. 函数有一个零点 D. 函数有两个零点 6.如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域有公共边所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7.已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列数中，与不相等的是( ) A. B. C. D. 10.下列命题正确的有( ) A. 已知函数，若，则 B. 已知函数在上可导，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 11.设函数，，则下列结论正确的是( ) A. 当时，在点处的切线方程为 B. 当时，有三个零点 C. 若有两个极值点，则 D. 若 在 上有解，则正实数 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲乙两名学生从门选修课程中各自选修门，则这两人选择的选修课程中恰有门相同的选法共有_____种用数字作答 13.函数的导函数 _____． 14.若函数有唯一一个极值点，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 求下列函数的导函数． Ⅰ； Ⅱ； Ⅲ； Ⅳ． 16.本小题分 用，，，，，这六个数字的部分或全部组成无重复数字的自然数． 在组成的四位数中，求偶数个数； 在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； 在组成的四位数中，若将这些数按从小到大的顺序排成一列，试求第个数字． 17.本小题分 已知函数的图象在原点处的切线的斜率为． 求的值； 若，求曲线的过点的切线方程． 18.本小题分 已知，． 当时，求极值； 讨论单调性； 当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 19.本小题分 已知函数，． 若函数为奇函数，求的值； 若在上恒成立，求的取值范围； 设，讨论方程的根的个数． 答案和解析 1.【答案】 【解析】因为， 则． 故选：． 2.【答案】 【解析】学生在书店发现本好书，决定至少买其中的本， 买本有种方法，买本有种方法；买本有种方法； 共有钟不同的方法， 故选：． 3.【答案】 【解析】，A正确， ，B错误， ，C错误， ，D错误， 故选：． 4.【答案】 【解析】的导函数为， 设直线与曲线相切于点， ，解得， ， 当，时，取得最小值． 故选：． 5.【答案】 【解析】，，，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 故函数有最大值，无最小值，AB错误， 设，则恒成立，函数单调递增， 且，故函数有一个零点，C正确，D错误． 故选：． 6.【答案】 【解析】第一步：选两种颜色涂、区域， 有种不同涂色方法； 第二步：涂、、区域， 当区域与区域涂相同颜色时， 有种不同涂色方法； 当区域与区域涂不相同颜色时， 有种不同涂色方法， 综上可得：不同的涂色方法共有种． 故选：． 7.【答案】 【解析】，， ， 函数在区间上有极值， 在区间上有变号根， 即在区间上有变号根． 令，则， 令，得或舍去， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时， ... ...