8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 [学习目标] 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直． 2．理解并掌握异面直线所成的角，掌握两异面直线所成的角的求法． [讨论交流] 预习教材P146－P148的内容，思考以下问题： 问题1．异面直线所成的角的定义是什么？ 问题2．异面直线所成的角的范围是什么？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1 异面直线所成的角 探究问题 平面内两条直线所成的角的取值范围是多少？ [提示] ． [新知生成] 异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°． 【教用·微提醒】 (1)两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 【链接·教材例题】 例1 如图8.6-3，已知正方体ABCD-A′B′C′D′． (1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ (2)求直线BA′与CC′所成的角的大小． (3)求直线BA′与AC所成的角的大小． [解] (1)棱AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′所在直线分别与直线AA′垂直． (2)因为ABCD-A′B′C′D′是正方体，所以BB′∥CC′，因此∠A′BB′为直线BA′与CC′所成的角．又因为∠A′BB′＝45°，所以直线BA′与CC′所成的角等于45°． (3)如图8.6-4，连接A′C′．因为ABCD-A′B′C′D′是正方体，所以AA′綉CC′．从而四边形AA′C′C是平行四边形，所以AC∥A′C′．于是∠BA′C′为异面直线BA′与AC所成的角． 连接BC′，易知△A′BC′是等边三角形，所以∠BA′C′＝60°．从而异面直线BA′与AC所成的角等于60°． [典例讲评] 1．如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角． [解] (1)∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角． 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°． (2)如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角． 连接HA，AF，则△AFH是等边三角形． 又O是AH的中点， ∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°． 求异面直线所成角的一般步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角． (2)证：证明作出的角就是要求的角，其实质是证明线线平行，并指出所作的角就是要求的角． (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出． (4)结论：假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则180°－α即为所求． 可用“一作二证三计算四结论”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°． [学以致用] 1．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2AA1，M是AA1的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为( ) A． B． C． D． D [如图所示，连接A1C1，C1M，BC1， ∵AB綉CD綉C1D1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1， ∴AD1与BM所成的角即为BC1与BM所成的角， 即∠C1BM． 不妨设AA1＝1，则AB＝2， ∵BM＝＝，BC1＝＝， C1M＝＝， ∴cos ∠C1BM＝＝＝． 即异面直线AD1与BM所成角的余弦值为．故选D．] 【教用·备选题】 当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是( ) A． B． C． D． C [设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈，连接AD1 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
