8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的定义及判定定理 [学习目标] 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系． 2．归纳出直线与平面垂直的判定定理． 3．了解直线与平面所成的角． [讨论交流] 预习教材P149－P152的内容，思考以下问题： 问题1．直线与平面垂直的定义是什么？ 问题2．直线与平面垂直的判定定理是什么？ 问题3．直线与平面所成的角的定义是什么？直线与平面所成的角的范围是什么？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1 直线与平面垂直的定义 探究问题1 观察立在水平桌面上打开的书，书脊可以抽象成一条直线，书脊与桌面上每一页的下底边所在直线都垂直，就说书脊与桌面垂直．那么，什么是直线与平面垂直呢？ [提示] 直线与平面内任意一条直线都垂直，则该直线与平面垂直． [新知生成] 直线与平面垂直的定义 定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 【教用·微提醒】 (1)定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”． (2)若l⊥α，c α，则l⊥c． 探究2 直线与平面垂直的判定定理 探究问题2 木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直． 问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？ (2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？ [提示] (1)不能判断垂直； (2)直线与平面垂直的条件是一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直． [新知生成] 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α 图形语言 [典例讲评] 1．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足． (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：PB⊥平面ANQ． [证明] (1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM． 又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM， ∴PA⊥BM． 又∵PA∩AM＝A， PA，AM 平面PAM， ∴BM⊥平面PAM． 又AN 平面PAM，∴BM⊥AN． 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM， ∴AN⊥平面PBM． (2)由(1)知AN⊥平面PBM， PB 平面PBM，∴AN⊥PB． 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ． 由线线垂直证明线面垂直的方法 (1)定义法(不常用)；(2)判定定理(最常用)，要重点寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直． [学以致用] 1．(1)如图，已知P是菱形ABCD所在平面外的一点，且PA＝PC，求证：AC⊥平面PBD． (2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC． [证明] (1)设AC∩BD＝O，则O为AC中点，连接PO(图略)． ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD． 又∵PA＝PC，O为AC的中点，∴AC⊥PO． ∵BD∩PO＝O，BD，PO 平面PBD， ∴AC⊥平面PBD． (2)连接AB1，CB1，PO，PB1，B1D1，OD，如图． 设AB＝1，∵AB1＝CB1＝，AO＝CO，∴B1O⊥AC． ＝＝， ＝＝，OP2＝OD2＋DP2＝， ＋OP2＝，∴B1O⊥OP． 又∵AC∩OP＝O，AC，OP 平面PAC， ∴B1O⊥平面PAC． 探究3 直线与平面所成的角 [新知生成] 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中 ... ...
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