第2课时 线面垂直的性质与空间距离 [学习目标] 1．理解直线与平面垂直的性质定理． 2．理解空间距离相关定义并会求相应的距离． [讨论交流] 预习教材P153－P155的内容，思考以下问题： 问题1．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？ 问题2．如何求直线到平面的距离？ 问题3．如何求两个平行平面间的距离？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1 直线与平面垂直的性质定理 探究问题1 广阔的田野上有笔直的电线杆，它们的位置如何？ [提示] 平行． [新知生成] 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 a∥b 图形语言 【教用·微提醒】 (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． (2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据． [典例讲评] 1．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1． [证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D． 又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1， 所以CD⊥AD1． 因为A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC， 所以AD1⊥平面A1DC． 又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1． 证明线线平行常用的方法 (1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直． (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． [学以致用] 1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB．求证：a∥l． [证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA， 同理l⊥EB．又EA∩EB＝E，EA，EB 平面EAB， 所以l⊥平面EAB． 因为EB⊥β，a β， 所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B，EB，AB 平面EAB， 所以a⊥平面EAB． 由线面垂直的性质定理，得a∥l． 探究2 空间中的距离问题 探究问题2 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么在空间中，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ [提示] 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条． 探究问题3 类比平面内两条平行直线之间的距离，如果直线l平行于平面α，那么直线l上各点到平面α的距离有什么关系？ [提示] 相等． [新知生成] 1．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【教用·微提醒】 由直线到平面的距离与平行平面间的距离的定义知，它们都可以转化为点到平面的距离． 【链接·教材例题】 例5 如图8.6-19，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等． [证明] 过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1． ∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1∥BB1． 设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1． ∵l∥α，∴l∥A1B1． ∴四边形AA1B1B是矩形． ∴AA1＝BB1． 由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等． [典例讲评] 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3，求点D到平面PBC的距离． [解]法一(等体积转化法)：因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以A ... ...
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