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课件网) 第2课时 平面与平面垂直的性质 第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.3 平面与平面垂直 整体感知 [学习目标] 1．通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明． 2．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题． [讨论交流] 预习教材P159－P161的内容，思考以下问题： 问题1．面面垂直性质定理成立的条件有哪几个？ 问题2．线线垂直、线面垂直、面面垂直间能相互转化吗？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究建构 探究1 平面与平面垂直的性质定理 探究问题 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，黑板所在平面内的直线是否都垂直于地面所在的平面？你能否在黑板上画一条直线与地面所在的平面垂直？由此，你能得到什么样的一般结论呢？ [提示] 不一定都垂直于地面所在的平面．找到黑板所在平面与地面所在平面的交线，在黑板上画出和该交线垂直的直线，即垂直于地面．由此可以得出，两个平面垂直，在其中一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直，即面面垂直的性质定理． 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的____，那么这条直线与另一个平面____ 符号语言 图形语言 [新知生成] 交线 垂直 a α a⊥l 【教用·微提醒】 1．定理成立的条件有三个： ①两平面互相垂直．②直线在其中一个面内． ③直线与两个平面的交线垂直． 2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直． 【链接·教材例题】 例9 如图8.6-32，已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，a α，判断a与α的位置关系． [解] 在α内作垂直于α与β交线的直线b． ∵α⊥β，∴b⊥β． 又a⊥β，∴a∥b． 又a α，∴a∥α． 即直线a与平面α平行． 例10 如图8.6-33，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB． 分析：要证明BC⊥平面PAB， 需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线．由已知条件易得BC⊥PA．再利用平面PAB⊥平面PBC，过点A作PB的垂线AE， 由两个平面垂直的性质可得BC⊥AE． [证明] 如图8.6-34，过点A作AE⊥PB，垂足为E． ∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB， ∴AE⊥平面PBC． ∵BC 平面PBC， ∴AE⊥BC． ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC， ∴PA⊥BC． 又PA∩AE＝A， ∴BC⊥平面PAB． [典例讲评] 1．如图，已知V是△ABC所在平面外一点，VA⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VBC．求证：AB⊥BC． [证明] 如图，在平面VAB内，过点A作AD⊥VB于点D． ∵平面VAB⊥平面VBC，且平面VAB∩平面VBC＝VB， ∴AD⊥平面VBC，BC 平面VBC， ∴AD⊥BC． ∵VA⊥平面ABC，BC 平面ABC， ∴VA⊥BC． ∵AD∩VA＝A，且VA 平面VAB，AD 平面VAB， ∴BC⊥平面VAB． ∵AB 平面VAB，∴AB⊥BC． [母题探究] 若将本例中的条件变为：平面VAB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC，CA⊥AB．求证：VA⊥BC． [证明] ∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，AC 平面ABC，CA⊥AB， ∴CA⊥平面VAB，∴CA⊥VA． 同理，BA⊥VA． 又AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，∴VA⊥平面ABC． ∵BC 平面ABC，∴VA⊥BC． 反思领悟 在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题． [学以致用] 1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形， 其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证： (1)BG⊥平面PAD； (2)AD⊥PB． [证明] (1)∵四边形AB ... ...
