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课件网) 第1课时 向量数量积的概念及性质 第六章 平面向量及其 6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积 整体感知 [学习目标] 1．了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功． 2．掌握向量数量积的定义及投影向量． 3．会计算平面向量的数量积． [讨论交流] 预习教材P17－P19的内容，思考以下问题： 问题1．什么是向量的夹角？ 问题2．数量积的定义是什么？ 问题3．投影向量的定义是什么？ 问题4．向量数量积有哪些性质？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究建构 非零 0≤θ≤π 同向 反向 垂直 【教用·微提醒】 两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． 反思领悟 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． [学以致用] 1．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 探究2 两向量的数量积 探究问题1 物体在力F的作用下产生位移s时，力F所做的功是如何计算的？其结果是向量还是数量？由此你认为两个向量可以相乘吗？ [提示] W＝|F|·|s|cos θ(θ为F与s的夹角)．其结果是数量．两个向量可以相乘． [新知生成] 1．数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为_． 0 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ． (2)a⊥b a·b＝0． ≤ 【教用·微提醒】 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0． (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． [典例讲评] 2．(源自苏教版教材)已知向量a与b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3，分别在下列条件下求a·b； (1)θ＝135°；(2)a∥b；(3)a⊥b． 发现规律 定义法求平面向量的数量积 (1)求模：分别求|a|和|b|． (2)求夹角：注意向量a与b的方向． (3)求数量积：a·b＝_____． |a||b|cos θ [学以致用] 2．(1)已知|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝60°，求a·b； (2)已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝3，求〈a，b〉． [典例讲评] 3．已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求： (1)向量a在向量b上的投影向量； (2)向量b在向量a上的投影向量． 发现规律 投影向量的求法 方法一：用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量． 方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量为_____． [学以致用] 3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量． 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ 2 4 3 题号 1 2 3 题号 1 4 √ 2 3 题号 4 1 3．设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为_____． 2 4 3 题号 1 a 1．知识链：(1)向量的夹角． (2)向量数量积的定义． (3)投影向量． (4)向量数量积的性质． 2．方法链：数形结合法． 3．警示牌：一是注意向量夹角共起点；二是a·b>0 两向量夹角为锐角，a·b<0 两向量夹角为钝角． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．向量夹角的范围是多少？ [提示] [0，π]． 2．如何求两个向量的数量积？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？ 3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？ [提示] b在a方向上的投影向量为|b|e1cos θ，a在b方向上的投影向量为|a|e2cos θ(θ为a与b的夹角，e1为a方向的单位向量，e2为b方向的单位向量)． 4．设a与b都是非零向 ... ...
