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课件网) 6.2.3 向量的数乘运算 第六章 平面向量及其 6.2 平面向量的运算 整体感知 [学习目标] 1．了解向量数乘的概念． 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算． 3．理解并掌握向量共线定理及其判定方法． [讨论交流] 预习教材P13－P16的内容，思考以下问题： 问题1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？ 问题2．向量数乘运算满足哪三条运算律？ 问题3．向量共线定理是怎样表述的？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究建构 探究1 向量的数乘运算 探究问题1 如图，已知非零向量a，你能作出a＋a＋a，(－a)＋(－a)＋(－a)吗？它们的长度和方向分别是怎样的？ 向量 数乘 0 【教用·微提醒】 (1)数乘向量仍是向量． (2)实数λ与向量不能相加． 探究2 向量的线性运算 探究问题2 类比实数的乘法的运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？ [提示] 数乘向量满足乘法对加法的分配律． [新知生成] 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝_____． (2)(λ＋μ)a＝_____． (3)λ(a＋b)＝_____． 特别地，(－ λ)a＝－(λa)＝ λ(－a)，λ(a－b)＝ λa－ λb． (λμ)a λa＋μa λa＋ λb 2．向量的线性运算 向量的__、__、____运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_____． 加 减 数乘 λμ1a± λμ2b 【链接·教材例题】 例5 计算： (1)(－3)×4a； (2)3(a＋b)－2(a－b)－a； (3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)． [解] (1)原式＝(－3×4)a＝－12a； (2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b； (3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c． [解] (1)原式＝2a＋2b－2a＋2b＝2a－2a＋2b＋2b＝4b． (2)原式＝－a－b＋c＋2a－2b＋2c＝a－3b＋3c． (3)原式＝2a－b＋2a＝4a－b． (4)原式＝(λ＋μ)a－(λ＋μ)b＋(λ－μ)a＋(λ－μ)b ＝[(λ＋μ)＋(λ－μ)]a＋[(λ－μ)－(λ＋μ)]b ＝2λa＋(－2μ)b＝2λa－2μb． 反思领悟 向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算． [学以致用] 1．已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y． 探究3 向量共线定理 探究问题3 结合探究1，思考一下：如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0) [提示] 共线，存在． [新知生成] 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 【教用·微提醒】 定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数，若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa． √ 反思领悟 用已知向量表示其他向量的方法 (1)直接法：结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则，用已知向量表示未知向量． √ 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ 2 3 题号 1 4 √ 2 3 题号 1 4 2 3 题号 4 1 √ √ √ 2 3 题号 4 1 ABC [对于A，b＝－a，有a∥b； 对于B，b＝－2a，有a∥b； 对于C，a＝4b，有a∥b； 对于D，a与b不一定共线．故选ABC．] 2 4 3 题号 1 －4 1．知识链：(1)向量的数乘及运算律． ( ... ...
