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课件网) 第2课时 向量数量积的运算律及其应用 第六章 平面向量及其 6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积 整体感知 [学习目标] 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式． 2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． [讨论交流] 预习教材P20－P22的内容，思考以下问题： 问题1．向量数量积的运算有哪些运算律？ 问题2．如何利用数量积求向量的模、夹角等问题． [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究建构 探究1 向量数量积的运算律 【链接·教材例题】 例11 我们知道，对任意a，b∈R，恒有 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2． 对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？ (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． [解] (1)(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2； (2)(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b ＝a2－b2． 因此，上述结论是成立的． [新知生成] 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2．数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)2＝_____． (2)(a－b)2＝_____． (3)(a＋b)·(a－b)＝_____． a2＋2a·b＋b2 a2－2a·b＋b2 a2－b2 【教用·微提醒】 (1)a·b＝b·c推不出a＝c． (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量． 【链接·教材例题】 例12 已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)． [解] (a＋2b)·(a－3b) ＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b ＝|a|2－a·b－6|b|2 ＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2 ＝62－6×4×cos 60°－6×42 ＝－72． [典例讲评] 1．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是( ) A． a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b与c不垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 √ √ √ ACD [根据数量积的分配律知A正确； ∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形， ∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；显然D正确． 故选ACD．] 反思领悟 向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0．特别是向量的数量积不满足结合律． [学以致用] 1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 B [由|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1， ∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．] √ 探究2 与向量模有关的问题 [典例讲评] 2．(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|； (2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b． (2)由题意可知|a＋b|2＝|a－b|2， 即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0． √ √ √ 探究3 与向量垂直、夹角有关的问题 【链接·教材例题】 例13 已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？ √ [母题探究]将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围． 【教用·备选题】 已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角θ． 4 2 4 3 题号 1 应用迁移 C [由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3．] √ 2 3 题号 1 4 2．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于( ) A．16 B．256 C．8 D．64 √ 2 3 题号 1 4 A [法一 ... ...
