(
课件网) 6.3.1 平面向量基本定理 第六章 平面向量及其 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 整体感知 [学习目标] 1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义． 2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量． 3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． [讨论交流] 预习教材P25－P27的内容，思考以下问题： 问题1．平面向量基本定理的内容是什么？ 问题2．基底中两个向量满足什么条件？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究建构 探究1 平面向量基本定理 探究问题1 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？ 探究问题2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ [提示] 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示． [新知生成] 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_____向量，那么对于这一平面内的任一向量a，_____实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 2．基底：若e1，e2_____，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 不共线 有且只有一对 不共线 【教用·微提醒】 (1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可． (2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的． 4 √ √ BC [由平面向量基本定理可知，AD的说法是正确的． 对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．] [学以致用] 1．(1)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( ) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 (2)已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝_____． √ √ √ 3 4 4 反思领悟 用基底表示向量的一般方法 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． 2a＋c a＋b 4 4 4 反思领悟 利用向量解决几何问题的一般思路 (1)选取不共线的两个平面向量作为基底． (2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题． (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解． (4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解． [学以致用] 3．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD． 【教用·备选题】 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB．求证：AD⊥CE 4 4 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ 2 4 3 题号 1 2 3 题号 1 4 √ 2 3 题号 4 1 √ 2 4 3 题号 1 2 4 3 题号 1 1．知识链：(1)平面向量基本定理． (2)用基底表示向量． (3)平面向量基本定理的应用． 2．方法链：数形结合． 3．警示牌：注意基底中的向量必须是不共线的两个向量． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．平面内满足什么条件的两个向量可以构成基底？ [提示] 平面内任意不共线的两个向量都可以构成一个基底． 2．若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？ [提示] 由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－ ... ...
