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课件网) 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 第六章 平面向量及其 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 整体感知 [学习目标] 1．掌握平面向量数乘运算的坐标表示． 2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线． [讨论交流] 预习教材P31－P33的内容，思考以下问题： 问题1．两向量共线的充要条件是什么？ 问题2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究建构 探究1 平面向量数乘运算的坐标表示 探究问题1 当a＝(x，y)时，2a如何表示？ [提示] 法一：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x，2y)． 法二：a＝xi＋yj，∴2a＝2xi＋2yj，即2a＝(2x，2y)． [新知生成] 已知a＝(x，y)，则λa＝_____，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数_____． (λx，λy) 乘原来向量的相应坐标 【链接·教材例题】 例6 已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求3a＋4b的坐标． [解] 3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)． 4 反思领悟 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行计算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行． 探究2 平面向量共线的坐标表示及其应用 探究问题2 已知a，b两向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ [提示] 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0， 由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb， 则有(x1，y1)＝λ(x2，y2)， 即消去λ，得x1y2－x2y1＝0． [新知生成] 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0． 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是_____． x1y2－x2y1＝0 【链接·教材例题】 例7 已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y． [解] 因为a∥b， 所以4y－2×6＝0． 解得y＝3． 4 例8 已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断A，B，C三点之间的位置关系． [解] 在平面直角坐标系中作出A，B，C三点(图6.3-15)． 观察图形，我们猜想A，B，C三点共线．下面来证明． 反思领悟 三点共线的实质与证明步骤 (1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个非零向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的． (2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成，①证明向量平行；②证明两个向量有公共点． [学以致用] 2．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [解] 法一：(向量共线定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)． 4 【链接·教材例题】 例9 设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)． (1)当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； (2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标． 4 4 4 反思领悟 处理此类分点问题的关键是建立等量关系，然后借助向量的坐标运算求解，当遇到选择、填空题也可以直接套用公式求解． 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ B [利用平面向量共线的充要条件可知，只有B满足题意．] 2 3 题号 1 4 2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( ) A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) √ A [因为a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．] 2 3 ... ...
