人教版高中数学必修第二册第六章6.3.5平面向量数量积的坐标表示课件+学案

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 [学习目标]　1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算． 2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． [讨论交流]　预习教材P34－P35的内容，思考以下问题： 问题1．平面向量数量积的坐标表示是什么？ 问题2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　平面向量数量积的坐标表示 探究问题1　设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能用a，b的坐标表示a·b的值吗？ [提示]　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0． ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2． 又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， ∴a·b＝x1x2＋y1y2． [新知生成]　平面向量数量积的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． [典例讲评]　1．(1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10　 　B．－10　 　C．3　 　D．－3 (2)如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，求·的值． (1)B　[a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10． 故选B．] (2)[解]　以的方向分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系． 则A，B，F，E(1，2)， 所以＝＝， 所以·＝1×＋2×1＝0． [母题探究]本例(2)的条件“F为AD的中点”换成“点F在AD上，且＝2”，求·的值． [解]　建立平面直角坐标系如图所示，由题意可知， A，B，C，F，E， 所以＝(－1，2)，＝， 所以·＝(－1，2)· ＝(－1)×(－2)＋2×＝． 　在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题． [学以致用]　1．(1)若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝24，则x等于(　　) A．6　　　B．2　　　C．4　　　D．3 (2)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则·＝_____． (1)B　(2)4　[(1)由题意得8a－b＝(6，3)，c＝(3，x)，所以(8a－b)·c＝18＋3x＝24，解得x＝2． (2)以B为原点，以的方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图． 则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)． 所以＝(－2，0)，＝(－2，y)， 得·＝(－2，0)·(－2，y)＝4．] 【教用·备选题】 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是_____． 　[以A为坐标原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1)． 可设F(x，2)，因为·＝(，0)·(x，2)＝x＝．所以x＝1，F(1，2)．则＝(1－，2)，·＝(，1)·(1－，2)＝．] 探究2　向量模的坐标表示 探究问题2　若向量a＝(x，y)，向量a的模如何表示？若A(x1，y1)，B(x2，y2), 的模如何表示？ [提示]　根据a2＝a·a＝x2＋y2，所以＝＝(x2－x1，y2－y1)， 则||＝． [新知生成] 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝． 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝． [典例讲评]　2．若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求： (1)向量a的模； (2)与a平行的单位向量的坐标； (3)与a垂直的单位向量的坐标． [解]　(1)∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝＝5． (2)与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)， 即坐标为或． (3)设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a· ... ...