7.2.2 复数的乘、除运算 [学习目标] 1．掌握复数的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．掌握在复数范围内解方程的方法． [讨论交流] 预习教材P77－P79的内容，思考以下问题： 问题1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？ 问题2．复数乘法的运算律有哪些？ 问题3．如何在复数范围内求方程的解？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1 复数乘法的运算法则和运算律 探究问题1 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ [提示] 复数的乘法法则如下： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． [新知生成] 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有以下运算律： 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 【教用·微提醒】 一般地，对任意自然数n，有i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i． 【链接·教材例题】 例3 计算(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)． [解] (1－2i)(3＋4i)(－2＋i) ＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i． 例4 计算： (1)(2＋3i)(2－3i)； (2)(1＋i)2． 分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算． [解] (1)(2＋3i)(2－3i) ＝22－(3i)2 ＝4－(－9) ＝13； (2)(1＋i)2＝1＋2i＋i2 ＝1＋2i－1 ＝2i． [典例讲评] 1．(源自湘教版教材)计算： (1)(1＋2i)(4－3i)； (2)(1＋i)2； (3)(1－i)2； (4)(1＋i)1 000． [解] (1)(1＋2i)(4－3i) ＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i) ＝4－3i＋8i－6i2 ＝4－3i＋8i－6×(－1) ＝10＋5i． (2)(1＋i)2＝12＋2×1×i＋i2＝1＋2i－1＝2i． (3)(1－i)2＝12－2×1×i＋i2＝1－2i－1＝－2i． (4)(1＋i)1 000＝[(1＋i)2]500 ＝(2i)500 ＝2500×i500 ＝2500×1 ＝2500． 1．两个复数代数形式乘法的一般方法 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)． (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． (3)(1±i)2＝±2i． [学以致用] 1．(1)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)i是虚数单位，若(1＋mi)(2－i)为纯虚数，则实数m的值为( ) A．2 B．4 C．－2 D．－4 (1)A (2)C [(1)因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A． (2)依题意(1＋mi)(2－i)＝2＋2mi－i＋m＝2＋m＋i为纯虚数，所以解得m＝－2．故选C．] 探究2 复数除法的运算法则 探究问题2 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·结果是多少？能否借助该结论计算(a，b∈R) [提示] z·＝a2＋b2，＝＝． 探究问题3 类比实数的除法是乘法的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ [提示] 设复数a＋bi(a，b∈R)除以c＋di(c，d∈R)，其商为x＋yi(x，y∈R)，即(a＋bi)÷(c＋di)＝x＋yi． ∵(x＋yi)(c＋di)＝(cx－dy)＋(dx＋cy)i， ∴(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi． 由复数相等，可知 解这个方程组，得 于是有(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i． [新知生成] 复数除法的法则：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． 【链接·教材例题】 例5 计算(1＋2i)÷(3－4i)． [解] (1＋2i)÷(3－4i)＝ ＝＝ ＝＝－＋i． [典例讲 ... ...
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