10.3复数的三角形式及其运算 同步练习（含解析） 2024-2025学年人教B版（2019）高中数学必修 第四册

10.3 复数的三角形式及其运算 1．已知，，i为虚数单位，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 2．欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（ ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 4．复数是方程的一个根，那么的值为（ ） A． B． C． D． 5．设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 6．复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（ ） A．3 B．12 C． D． 7．复数的辐角的主值为（ ） A． B． C． D． 8．复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 9．欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（ ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 10．已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则的最小值为3 C．若，则 D．若，则 11．除法运算法则 设，，且，则 ． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的 ，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的 ． 12．乘法运算法则 设，，则 ． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 ，积的辐角等于各复数的辐角的 ． 13．定义：任何一个复数都可以表示成 的形式．其中，是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的 ． 叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 14．已知复数满足，则复数的辐角的主值是 . 15．计算： (1)； (2)． 16．（1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 1．A 【详解】由可得，即； 又可得， 联立解得； 可知； 因此； 所以. 故选：A 2．B 【详解】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 3．B 【分析】根据已知条件设出，化简，由此确定正确答案. 【详解】依题意，复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上， 设圆的半径为，则可设， 则 ， 的对应点均在半径为的圆上. 故选：B 4．D 【详解】因为是方程的一个根， 所以． 故选：D. 5．C 【详解】依题意，， 由复数是实数，得，在中，， 由，得，因此，解得， 所以是直角三角形. 故选：C 6．C 【详解】由题意，得， 由复数相等的定义，得 解得，． 故选：C 7．A 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 8．D 【详解】，．， ， 当时，取得最大值， 即当，，即，时，取最大值， 此时，． 又，， ． ． 又， ，且， 该图形为等腰三角形． 故选：D． 9．BCD 【详解】对于A，因为，所以，，故A错误； 对于B，，而，则、， 故位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以， 又因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 10．AB 【详解】对于A，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确； 对于B ... ...