2025年（通用版）中考提优：圆综合解答题压轴必刷题 原卷+解析卷

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年中考提优：圆综合解答题压轴必刷题 圆中切线的判定与性质综合 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，，是的直径，切线与延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形的相关性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由切线的性质得，再结合是的直径，得，再结合等边对等角，即可作答． （2）由圆周角定理得，，，运用勾股定理以及角的余弦性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：是的切线， ， ， 是的直径， ， ， ， ． ． （2）解：连接， ， ． 是直径， ， 同理，， 在中，， ，， ， ， 由（1），， ， 在中，， ， 半径． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，是的外接圆，且．连接交延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)的半径为 【分析】（1）连接，证明，由角的等量代换即可证明，可得结论； （2）连接，延长交于点M，证明，在中，，代入计算即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 证明：连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线． （2）解：如图，连接，延长交于点M， ∵，， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴ 解得，． 即的半径为． 【点睛】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握圆的有关性质是解题的关键． 3．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，交于点H，过点E作的切线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理、圆的切线的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解答的关键． （1）连接，利用圆周角定理推出，则，再利用切线的性质得到，进而利用平行线的判定可得结论； （2）连接，证明，得到，进而求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴，则， ∵与相切于点E， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，则， ∴，即的半径为． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图1，是直径，点C在上，连接，过点A作的切线交延长线于点D，点E在上，连接，且，连接交线段于点F (1)求证：； (2)如图2，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）由是的切线可求是的切线，由是直径可求，由圆周角定理可证，从而可证； （2）先求出，在中，根据勾股定理求出，证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出半径的长． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴． ∵是直径， ∴ ∴ 在中，根据勾股定理得 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 5．（2024·辽宁朝阳·一模）如图，在中，是的直径，是上一点，D在直径的延长线上，且，过点作交的延长线于点，交于点G，连接、，点F在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，利用直角所对的圆 ... ...