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课件网) 导数的几何意义 复习引入 1.函数y=f(x)在x=x, 处的导数 设函数y=f(x), 当自变量x从x 变到x 时，函数值y从f(xo)变到f(x ), < 平均变化率趋于一个固定的值，我们称这个值为平均变化率的极限，记作 口 那么这个值就是函数y=f(x) 在点x 的瞬时变化率 , 也叫y=f(x) 在点x 的导数。 2.求函数y=f(x)在x=x, 处导数的步骤 (1)求函数的增量△y=f(x +△x)-f(x ); (2)求平均变化率 (3)取极限，得导 新课探究 探究1: 我们知道，导数f(xo)表示函数y=f(x) 在x=x 处 的瞬时变化率，反映了函数y=f(x) 在x=x 附近的变化情况. 平均变化率 瞬时变化率 .导数 平均变化率的几何意义 导数f( xo)的几何意义 那么导数f(x ) 的几何意义是什么 结合直线斜率的定义可知：函数在点P 到点P 之间的平均变化率即为割线P P 的斜率. 平均变化率的几何意义 平均变化率的几何意义 设函数y=f(x) 的图象如图，点Po(xo,f(x )), 点P(xo+△x,f(xo+△x)), 则 f(x) 在 [xo,xo+△x] 上的平均变化率 它的几何意义是表示 △y △x x +△x y f(x +△x) f(xo) o Po Xo P / X 瞬时变化率的几何意义 示什么 观察左图，当点P 沿着曲线 y=f(x) 趋近于点 P 时，割线 P P 的变化趋势是什么 割线P P无限趋近于一个 确定的位置。 新课讲授 1.切线的定义 在曲线y=f(x) 上任取一点P(x,f(x)) 当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x) 无限趋近于点P。(xo,f(xo) )时，割线P P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置 的直线P T 称为曲线y=f(x) 在点P,处的切线. 思考1: 此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么 不同 此处的切线定义是以逼近的方式对切线作出的定义； 初中学过的圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的. 思考2: 通过逼近方式对切线作出的定义，是否适用于圆 的切线呢 割线 P P 的斜率 k 切线P T 的斜率k。 0 函数y=f(x) 在x=x 处的导数f(x ) 曲线y=f(x) 在点P (xo,f(xo)) 处切线的斜率k 2.导数的几何意义 思考3: 导 数f(x ) 的几何意义是什么 y=f(x) pl T f(x +Ax)-f(x ) Ax 二 x x +Ax x y f(x +Ax) f(x ) 导 数f(x ) 的几何意义 可 合 继续观察图，可以发现点P 处的切线P T 比任何一条割线更贴近点P 附近的曲线.进一步地，利用信息技术根据将点Po附近的曲线不断放大，可 以发现点P 附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点P 附近，曲线y=f(x) 可以用点P 处的切线P T 近似代替. =f'(x ) 即 kpr=tan α=f'(x ) 曲线y=f(x) 在点M(x ,f(x ) 处的切线方程为 y-yo=f'(x )(x-xo) 探究2: 你能求出曲线y=f(x) 在点M (xo,f(xo)) 处的切线方 程是什么吗 品 y2●2(xO1J2xoyO0. 解决切线问题的关键：利用导数的几何意义求出切线的斜率 k =f'(x ). 典例精析 例 1 : 求曲线f(x)=x +1 (x)■x 在点P(1,2) 处的切线方程. P(1,2) 求曲线在某点处的切线方程的步骤 求斜率 求 出 曲 线 在 点(x ,f(x ))处切线的斜率f'(xo) 写方程 用 点 斜 式y-f(x )=f'(xo)(x-x )写 出 切 线 方 程 变 形 将点斜式变为一般式 令△x趋于0,可知y=2x 在x=1 处的导数为f'(1)=6. 于是，函数y =2x 在点(1, f(1))即(1,2)处的切线斜率为6, 即该切线经过点(1,2), 且斜率为6. 因此，函数y =f(x)=2x 在x= 1处的切线方程为： y-2=6(x-1), 即y=6x-4. 例2: 求函数y=f(x)=2x 在x=1 处的切线方程. 例3:曲线y=f(x)=x -1 在x=x, 处的切线与曲线 y=g(x)=1-x 在x=x,处的切线互相平行. (1)求x,的值；(2)求曲线y=f(x) 在x=x,处的切线方程. 由题意得2x =-3x , 解得x =0 或 解析：( 例3: 曲线y =f(x)=x -1 在x=x, 处的切线与曲线 y=g(x)=1-x 在x=x, 处的切线互相平行. (1)求x,的值；(2)求曲线y=f(x) 在x=x, 处的切线方程. 解析： (2)当x =0 时 ，f'(xo)=0, 又f(0)=- ... ...
