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课件网) 导数的概念 复习引入 平均变化率的定义 对一般的函数y=f(x) 来说，当自变量x从x 变为x 时，函 < 数值从f(x ) 变为f(x ), 它的平均变化率为 瞬时变化率 对于一般的函数y=f(x) , 在自变量x从x 变到x 的过程中，若 设△x=x -xo,△y=f(x )-f(xo) , 则该函数的平均变化率为 , 如果当△x趋于0时，平均变化率趋 于某个值，那么这个值就是f(x)在点x 的瞬时变化率. 复 习 引 入 求函数平均变化率的三个步骤： 第一步，求自变量的增量△x=x -x ; 第二步，求函数值的增量△y=f(x )-f(x ); 第三步，求平均变化 求函数f(x) 在点x =x 处的瞬时变化率的步骤： (1)求△y=f(x +△x)-f(x ); (2)计算 并化简，直到当△x=0 时有意义为止； (3)将△x=0 代入化简后的即得瞬时变化率. 函数值y关于x的平均变化率入 这个值为平均变化率的极限， 记 或 那么这个值就是 函数y=f(x) 在点x 的瞬时变化率 导 数 就 是 瞬 时 变 化 率 在数学中，称瞬时变化率为函数y =f(x )在点x 处的导数， 通常用符号f'(xo) 表示， 新课讲授极限与导数 设函数y=f(x), 当自变量x从x 变到x 时，函数值y从f(xo)变到f(x ), 当x 趋于x , 即△x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，我们称 注意： (1)函数应在x 的附近有定义，否则导数不存在； (2)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x) 在x=x 处及 其附近的函数值有关，与△x无关； (3)导数的实质是一个极限值. (4)若函数y=f(x), 则f'(x )=ylx=x。=f(x) |x=x 典例精析 例1. (1)f(x)= x 在x=1 处的导数为( B ) A.2x B.2 C.2+△x D.1 (2)求函数f(x)=x 在x=2 处的导数. 解：△y= (2+△x) -2 =12 归纳总结 求导数的一般步骤 ①求函数的改变量△y=f(xo+△x )-f(x ); ②求平均变化 ③取极限，得导数 例2.求函数f(x)= √x 在x=1 处的导数。 解： 例3: 一条水管中流过的水量y(单位：m ) 与时间x(单位：s)的 函 数关系为f(x)=3x. 求函数y=f(x) 在 x=2 处的导数f'(2), 并解释它的实际意义. 解：当x从2变到2+△x时，函数值从3×2变到3(2+△x), 函数值y关于x 的平均变化率 当x趋于2,即△x趋于0时，平均变化率总是3,所以f'(2)=3(m /s). 导数f'(2) 表示当x=2s 时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度，也 就是说，如果水管中的水保持以x=2s 时的瞬时速度流动的话，每经过 1s, 水管中流过的水量为3m . 例4.设f(x)=x -8x, 求： (1) 解：(1) ② ③ ④ ■ ③ =-8 =4 ② ④ 巩固练习 1.求函数 x=2 处的导数. 解：∵ ∴f'(2)=-1 2.若 f'(x )=a, 则 的值为( B ) A.-2a B.2a C.a D.-a 解 析 ： 本课小结 极限与导数 在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x )在点x 处的导数， 通常用符号f'(xo) 表示， 求导数的一般步骤 ①求函数的改变量△y=f(xo+△x )-f(xo); ②求平均变化 ③取极限，得导数 ... ...
