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课件网) 2.6.1函数的单调性 北师大版(2019)选择性必修第二册 第二章导数及其应用 学习目标 理解导数与函数的单调性的关系. 掌握利用导数判断函数单调性的方法. 会用导数求函数的单调区间. 同学们，我们之前简单学习了函数的单调性， 一起回顾一下. 一般地，设函数f(x) 的定义域为I, 如果对于定义域I 内某个 区间 D 上的任意两个自变量的值x ,x , 当x
f(x ), 那么就说f(x)在区间D 上是 减函数； 如果函数y=f(x) 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x) 在这一区间具有单调性.区间D 叫做函数的单调区间. 知 识 回 顾 在数学中，称函数y=f(x) 在点xo 的瞬时变化率为该函数在点x。处的导数，通常用符 号f'(xo) 表示，记作 L 个y A P X x 个V P A 可 X x 知识回顾 导数的概念 …… 问题提出 我们知道，对于函数y=f(x) 来说，导数f'(x)刻画的是函数y=f(x) 在点x 的瞬时变化率，函数的单调性描述的是函数值y 随自变量x 取值 的增加而增加，或函数值y 随自变量x 取值的增加而减少. 两者都在刻画函数的变化，那么,导数与函数的单调性之间有何关系 呢 解： (1) f'(x)=1;(2)f'(x)=2;(3)f'(x)=-3 函数(1)(2)的导数都是正的，在定义域(-0,+0)内 函数值都是随x 的增加而增加的； 函数(3)的导数是负的，在定义域(-o,+o) 内函数 值是随x 的增加而减少的. y ,y=2x+5 y=x 0 y=-3x+4 X 实例分析 1.计算下面几个一次函数的导数，并讨论它们的单调性. (1)y=f(x)=x (2)y=f(x)=2x+5 (3)y=f(x)=-3x+4 (1) (2) (3) (4) 对于函数(1)和(3),相应的定义域内的每一个x 都满足f'(x)>0 函数y=f(x) 在其定义域内是增函数； 对于函数(2)和(4),相应的定义域内的每一个x 都满足f'(x)<0, 函数y=f(x) 在其定义域内是减函数. 2.计算下列指数函数、对数函数的导数，并讨论它们的单调性. (1)y=f(x)=2× (3)y=f(x)=log x (4) 解：(1)f'(x)=2×In2; 实例分析 (2) (3) 解：f'(x)=2x; 当自变量 x∈(0,+o) 时 ，f'(x)=2x>0 在区间(0,+)内单调递增； , 函数 f(x)=x 当自变量 x∈(-,0) 时 ，f'(x)=2x<0 在区间(-o,0) 内单调递减. , 函数 f(x)=x 实例分析 3.计算幂函数 y=f(x)=x 的导数，并讨论单调性. (1)若在某个区间内，函数y=f(x) 的导数f'(x)>0 , 则在这个区间内 , 函 数y=f(x) 单调递增； (2)若在某个区间内，函数y=f(x) 的导数f'(x)<0 ,则在这个区间内 , 函 数y=f(x) 单调递减. 注意：若在某个区间内，f'(x)≥0 且只在有限个点为0,则在这个区间内， 函数 y=f(x) 单调递增；若在某个区间内，f'(x)≤0 , 且只在有限个点为0, 则在这个区间内，函数y=f(x) 单调递减. 抽象概括 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： 解：f'(x)=6x -6x-36=6(x+2)(x-3) 设f'(x)>0, 则 6(x+2)(x-3)>0, 即 x<-2 或 x>3. 故当x∈(-0,-2) 或 x∈(3,+0) 时 ，f'(x)>0, 因此，在这两个区间上，函 数 f(x)均单调递增； 当x∈(-2,3) 时 ，f'(x)<0, 因此，在这个区间上，函数f(x)单调递减. 例1讨论函数f(x)=2x -3x -36x+16 的单调性. 例题分析 函数的单调性决定了函数图像的大致形状. 因此，当确定了函数的单调性后，再通过描出一 些特殊的点，如(-2,60),(3,-65)等，就可以画 出函数的大致图像.右图即为 f(x)=2x -3x - 36x+16 的大致图像. 思 考 交 流 你能画出 f(x)=2x -3x -36x+16 的大致图像吗 判断函数y=f(x) 的单调性的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求出导数f'(x)的零点； (3)用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x) 在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x) 在定义域内的单调性. 抽象概括 抽象概括 知识剖析 ... ... 
