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课件网) 微专题13 概率及性质、条件概率 2025 高考第二轮专题 数学 微点1 古典概型 例1 [2024·全国甲卷] 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.设 为前两次取出的球上 数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与 之差的 绝对值不大于 的概率为___. [解析] 从6个号码不同的球中不放回地抽取3次, 每次取1个球,共有（种）抽取结果, 设前两个球的号码为, ，第三个球的号码为, 则,故 , 即,故. 若 ,则,则为,，故有2种结果； 若 ,则,则为,,,, ,, , ,,,故有10种结果； 若,则 ,则为,,,,,, ,,, , ,,,,,,故有16种结果； 若 ,则,同理有16种结果； 若,则 ,同理有10种结果； 若,则,同理有2种结果. 所以 与之差的绝对值不大于 时,不同的抽取结果共有 （种）,故所求概率为 . 自测题 1.[2024·全国甲卷]甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头， 且甲或乙在排尾的概率是( ) A. B. C. D. √ [解析] 方法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 故所求概率 .故选B. 方法二：当甲排在排尾，乙排在排头时， 丙有2种排法，丁有1种排法，此时有2种排法； 当甲排在排尾，乙排在第二位或第三位时， 丙有1种排法，丁有1种排法，此时有2种排法. 故甲排在排尾共有 （种）排法. 同理，乙排在排尾共有4种排法. 故丙不在排头，且甲或乙在排尾共有 （种）排法. 根据古典概型的概率计算公式，丙不在排头， 且甲或乙在排尾的概率是 .故选B. 方法三：当甲在排尾时，丙有2种排法，乙、丁有 （种）排法， 此时共有 （种）排法； 当乙在排尾时，丙有2种排法，甲、丁有（种）排法， 此时共有 （种）排法. 故丙不在排头，且甲或乙在排尾共有 （种）排法. 根据古典概型的概率计算公式，丙不在排头， 且甲或乙在排尾的概率是 .故选B. 2.如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中 一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻） 的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各 按1次，则和 的最终状态都未改变的概率为____. [解析] 要使得的状态发生改变， 则需要按，， ，，这五个开关中的一个， 要使得 的状态发生改变， 则需要按，，这三个开关中的一个， 所以要使得 和 的最终状态都未发生改变， 则需按其他八个开关中的两个或按，，，， 这五个开关中的两个或按 ，，这三个开关中的两个， 故所求概率为 . 微点2 概率基本性质 例2 （多选题）[2024·河北沧州模拟] 袋子中有6个相同的球，分别 标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件 “取 出的球的数字之积为奇数”，事件 “取出的球的数字之积为偶数”， 事件 “取出的球的数字之和为偶数”，则( ) A.事件与是互斥事件 B.事件与 是对立事件 C.事件与是互斥事件 D.事件与 相互独立 √ √ [解析] 对于A，B，取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之 积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件A与B是互斥事 件，也是对立事件，故A，B正确； 对于C，若取出的球的数字为2,4，则事件B与事件C均发生， 故事件B与C不互斥，故C错误； 对于D，,, ， 则，即事件B与C不相互独立，故D错误.故选 . 自测题 1.（多选题）[2024·昆明三模] 在一个有限样本空间中，事件,, 发 生的概率满足，，与 互斥， 则下列说法正确的是( ) A. B.与 相互独立 C. D. √ √ √ [解析] 对于A,A与C互斥,故 ,, 则 包含事件A,故 ,故A正确； 对于B,,即 , 故,故 ,则A与B相互独立,故B正确； 对于C,A与C互斥,故与C互斥,故 ,故C错误； 对于D, , 因为,所以 ,故D正 ... ...
