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课件网) 微专题22 利用导数研究函数性质 2025 高考第二轮专题 数学 微点1 切线问题 例1（1）[2024·河北沧州模拟] 已知直线是函数 和的图象的公切线，则实数 ___. 3 [解析] 设直线与函数的图象相切于点，由 ， 得，因为点是与函数 图象的 公共点，所以 消去，得，解得. 设与函数 的图象相切于点，由，得， 即 ，因为点是与函数 图象的公共点， 所以消去，得，即 ， 解得 . （2）[2022·新高考全国Ⅱ卷] 曲线 经过坐标原点的两条切线 方程分别为_____，_____. [解析] 当时， . 设过坐标原点的直线与曲线相切于点, 由,得,所以 ，解得,所以, 则该切线的方程为,即 ， 由曲线的对称性，知另一条切线的方程为 . 【规律提炼】 1.曲线的切线问题，一定要注意区分“在某点的切线”还是“过某点的 切线”. 2.两条曲线的公切线问题，一般的处理方法是设出两个切点，分别写 出切线方程，利用切线重合（方程是一样的），列方程组求解，对 运算要求较高. 自测题 1.已知，设函数的图象在点 处的切线 为，则在 轴上的截距为___. 1 [解析] ，， 又， 函数的图象在点处的切线 的方程为，整理得， 切线在 轴上的截距为1. 2.[2024·福建泉州模拟]若曲线与 恰有两条公切 线，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ [解析] 由得，由得. 设曲线 上的切点为，曲线上的切点为， 则曲线 在点处的切线方程为 ， 即， 同理，曲线在点 处的切线方程为. 根据曲线与 有两条公切线，得 所以 ，化简可得 ， 由题意有两个解.构造函数 ，则 ， 当时，，单调递增， 当 时，，单调递减， 故在 处取得极大值，也为最大值，故， 当 时， ，当 时，， 故的取值范围为 ，故选A. 微点2 单调性问题 例2（1）[2024·江苏泰州模拟]若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为函数在 上单调递增，所以 在 上恒成立，即 在上恒成立. 令, ，则，所以在上恒成立. 又因为在 上单调递增，所以当时，， 故 .故选D. （2）（多选题）已知函数的导函数为 ， 则( ) A. 无最小值 B. 无最小值 C. D. √ √ [解析] 由函数, ，可得 ，则，所以 在定义域上为增函数，所以函数 无最小值，所以A正确； 当时，, ,，所以 ，又因为 ，故一定存在 ，使得 ，所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以在 处取得最小值，所以B错误； 由在定义域 上为增函数，可得 在 上为凹函数，可得 ，即 ， 所以C正确，D错误.故选 . 【规律提炼】 1.若函数
在区间
上单调递增，则对任意
，都有
成立；若函数
在区间
上单调递减，则对任意
，都有
成立. 2.若函数
在区间
上存在单调递增区间，则存在
，使得
成立；若函数
在区间
上存在单调递减区间，则存在
，使得
成立. 自测题 1.已知函数在上不单调，则 的取值范 围是( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题知，，若函数在 上单调， 则或在上恒成立. 当时， 恒成立，所以当时，可得 恒成立， 设，则对 恒成立，即 ,. 因为当 时，， 所以 ，所以若在上不单调，则 . 2.[2024·江西宜春三模]已知，， ，其中 为自然对数的底数，则( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得， ，. 设，则，当 时，，所以 单调递增，又 ，所以， 即，所以 .故选A. √ 微点3 极值与最值 例3（1）若函数 既有极大值也有极小值， 则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. √ [解析] 函数的定义域为 ，， 因为函数 既有极大值也有极小值， 所以函数在上有两个零点， 又 ，所以方程有两个不同的正实数根, ， 所以即,, .故选B. （2）[2021·新高考全国Ⅰ卷] 函数 的最小值为___. 1 [解析] 当时，，该函数在 上单 调递 ... ...
