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课件网) 微专题25 不等式的证明 2025 高考第二轮专题 数学 微点1 单变量问题 例1 已知函数， . （1）若的极大值为1，求实数 的值； 解：的定义域为， . 当时，，在上单调递增，所以函数 无极值； 当时，令，得，令，得 ， 所以在 上单调递增，在 上单调递减， 故当时，取得极大值，极大值为 ， 解得.经验证符合题意，故实数的值为 . （2）若，求证： . 证明：当时，，故要证 ， 即证 . 令， ， 则， . 令，，则，所以 在 上单调递增， 又因为，，所以存在 ， 使得，即 ， 可得当时，，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以. 又因为 ，即 ，所以 ， 所以，即 ，故 得证. 自测题 已知函数，， 的图象的一条切线 的方程为 . （1）求 的值； 解：由 ，得 ， 由切线方程为知，斜率 ， 令，即，可得 , 令,,, 则在 上单调递增， 又，故的解为 ，则，即切点为 ， 所以切线方程为，即 ， 所以 . （2）当，时，证明： . 证明：由（1）知， ，当时，， 函数在 上单调递减， 又，所以 ，即 ， 得 ，所以， 令，则 ，且 ，所以当 时， ，结论得证. 微点2 多变量问题 例2 已知 . （1）若，求曲线在点 处的切线方程； 解：当时，，则 , ， 又 ，所以曲线在点处的切线方程为 ，即 . （2）若函数存在两个不同的极值点, ，求证： . 证明： ， 令，得，令，则 ， 原方程可化为，则, 是方程①的两 个不同的根，所以解得 ， 由根与系数的关系得, ， 则 ， 所以 . 令 ， 则，所以函数在 上单调递减， 所以，所以 . 自测题 [2024·山东菏泽模拟] 已知函数 . （1）求函数 的单调区间; 解：, ， 令，，所以, ， 由可得，由可得 ， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以 . 又因为，所以，即，且 至多在一个点 处取到0. 所以在 上单调递减， 故的单调递减区间为 ，没有单调递增区间. （2）若，证明: . 证明：要证 ，只需证 ， 即证 ， 令,，所以 ， 只需证 ，即证 . 由（1）知，当时，在 上 单调递减， 所以当时， ，即 ， 所以 . 微点3 三角函数有关证明 例3 已知函数， . （1）求 的最小值； 解：令，由可知， 构造 , ， 则在 上恒成立， 所以在上单调递减， 则，所以 的最小值为1. （2）证明： . 证明：由（1）可知，即 ， 又因为，所以 ， 可得 ，则 . 设，，则在 上恒成立， 所以在 上单调递增，则 ， 即，可得 ， 注意到 ，则 ， 所以 . 自测题 设， . （1）当时，证明： ； 证明：因为的定义域为 ， 所以 ， 所以为定义在 上的偶函数. 不妨取，当 时， ， 则， ， 令， ，则 ， 所以在上单调递增，可得 ， 即在上恒成立，可得在 上单调递增， 所以在上的最小值为 ，结合偶函数性质可知 . （2）证明： . 证明： 由（1）可得，当且仅当 时， 等号成立，即， 令,,，则 ，当时， ， 即 ， 则，， ， ，相加可得 ， 又因为，所以，所以 ， 即 . 【规律提炼】 利用导数证明不等式问题，常见方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式
（或
） 转化为证明
（或
），进而构造辅助 函数
. （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见 放缩结论. （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根 据相似结构构造辅助函数. 1.[2016·全国卷Ⅲ] 设函数 . （1）讨论 的单调性； 解：由题可知，的定义域为， ，令 ，解得 . 当时，，单调递增；当 时， ， 单调递减. （2）证明：当时， ； 证明：由（1）知，在处取得最大值，最大值为 . 所以当时， . 故当时，，，即 . （3）设，证明：当时， . 证明：设，则 ， 令 ，解得 . 当时，， 单调递增； 当时，， 单调递减. 因为,由（2）知， ，所以 . 又 ，故当时， . 所以 ... ...
