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课件网) 微专题24 恒成立与能成立问题 2025 高考第二轮专题 数学 例1 已知函数 . （1）讨论 的单调性； 解：由题知的定义域为， ， 当时，，所以在 上单调递增； 当时，当时，，当 时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增. （2），，求 的取值范围. 解：当时，显然成立，此时 可以为任 意实数. 当时，由，在 上恒成立， 得对任意 恒成立. 令， ， 则 ， 设， ， 由（1）可知，在上单调递增，所以 ， 可得当时， ， 当时， ， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 则，所以 . 综上，实数的取值范围为 . 自测题 ［2024·济南三模］ 已知函数，其中 且 . （1）若是偶函数，求 的值； 解：由题意知， ，即 ， 解得或（舍去），经检验时， 是偶函数， 所以的值为 . （2）若时，，求 的取值范围. 解：当时，对任意的 ， 恒成立，此时符合题意； 当且时，对任意的 ， 恒成立，此时符合题意； 当时， ， 因为函数, 都是增函数， 所以函数在上单调递增， 又 ，所以存在，使得， 当时， ，从而 单调递减， 所以存在，使得 ，此时不合题意. 综上所述，的取值范围为且 . 例2 已知函数 . （1）讨论 的单调性； 解：由题意知，函数的定义域为 ， . 当时，恒成立，函数在 上单调递增； 当时，由，得 ，由，得 ， 所以在上单调递减，在 上单调递增. 综上，当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递减，在 上单调递增. （2）若不等式在区间 上有解，求 实数 的取值范围. 解：因为不等式在区间 上有解，所 以对 有解， 又时，，所以对 有解. 令 ， 则 . 令，则 ， 所以函数在上单调递增，所以 . 当时， ，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以. 综上可知，实数 的取值范围是 . 例3 已知函数 . （1）当时，证明： ； 证明：当时，，令 , , 则 ， 令可得，令可得 ， 在上单调递增，在 上单调递减， ，即，即 . （2）已知在上恒成立，求 的取值范围. 解：显然.当时，当时， ， ，所以在 上恒成立. 当时，由在上恒成立，得 ， ，令， . 当时，，令， ， ，在 上单调递增， 当时，，， 符合题意. 当时，令, ，则 ,故， 当 时，， 存在，使得， 当时，， 在上单调递减， ，不符合题意. 综上，的取值范围为或 . 【规律提炼】 对于求不等式恒（能）成立时的参数范围问题，一般可以转化为求 最值问题.通常有三个方法：一是分离参数法, 使不等式一端是含有 参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的 研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情 况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两 个函数图象确定条件. [2022·新高考全国Ⅱ卷] 已知函数 . （1）当时，讨论 的单调性； 解：当时，， . 当时，, 单调递减； 当时，, 单调递增. （2）当时，,求实数 的取值范围； 解：令，则 ， 由题意知对任意的 恒成立. ，则 . 令 ，则 ，故 . 若,即 ,则 ， 所以,使得当时，有，则 ， 故在上单调递增，则 ,不合题意. 若,即 ， 则当时，在 上恒成立， 故在上单调递减， 则当时， ，符合题意. 当 时， 在 上恒成立， 故在上单调递减， 则当时， ,符合题意. 故实数的取值范围是 . （3）设 , 证明： . 证明： ，要证， 只需证 ，即证 ， 即证 ， 设，则，，即证 ， 即证 . 设，则 ， 故在 上单调递增， 则当时，，故 . 所以 得证. ［备选理由］例1考查恒成立求参数范围问题，有多种方法可解，供 备课选用;例2为一道端点效应失效的题目. 例1 ［配例1使用］ [2020·全国新高考Ⅰ卷] 已知函数 . （1）当时，求曲线在点 处的切线与两坐标轴 围成的三角形的面积； 解：当时，，所以 ，所以 . 因为，所以切点坐标为 , 所以曲线在点 处的切 ... ...
