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课件网) 微专题7 空间几何体 2025 高考第二轮专题 数学 微点1 空间几何体的表面积与体积 例1（1）[2024· 新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面 积相等，且它们的高均为 ,则圆锥的体积为( ) A. B. C. D. [解析] 设底面半径均为，圆锥的母线长为，则 . 由题可知,解得, 则,, 圆锥的体积 .故选B. √ （2）在正三棱台中，，，侧棱 与 底面所成角的余弦值为 ，则此三棱台的表面积是( ) A. B. C. D. [解析] 在正三棱台中， 设和的中点分别为 , ，和的中心分别 为,，连接，， ，， 易知在线段上，在线段 上， 则,， √ 由侧棱与底面 所成角的余弦值为，得 ， 则. 因为 ,，所以 . 因为， ， ，正三棱台的三个侧面都是面积相等的等腰梯形， 所以此三棱台的表面积 .故选A. 自测题 1.[2024·江苏无锡模拟]蒙古包是我国蒙古族牧民 居住的房子，适于牧业生产和游牧生活.如图所 示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱 的高为，底面半径为,设 是圆柱下底面 A. B. C. D. 的圆心，若圆锥的侧面与以为球心，半径为 的球相切，则圆锥 的侧面积为( ) √ [解析] 如图，设圆锥的顶点为 ，圆柱上底面的圆 心为,A为圆柱上底面圆周上的一点，连接 ， ，，则在上，. 设 , （为圆锥的高，为圆锥的母 线长），过 作于, 以为球心，半径为 的球与圆锥侧面相切，. 在中， ，可得， 又，，解得， 圆锥的侧面积为 . 故选C. 2.[2023·天津卷]在三棱锥中，线段上的点 满足 ，线段上的点满足，则三棱锥 和 三棱锥 的体积之比为( ) A. B. C. D. [解析] 设中边上的高为 , 则由题意可得 ， .故选B. √ 微点2 线面位置关系的判断 例2（1）[2024·全国甲卷]设 , 为两个平面，, 为两条直线，且 .下述四个命题： ①若,则 或 ； ②若,则 或 ； ③若 且 ,则 ； ④若与 , 所成的角相等，则 . 其中所有真命题的编号是( ) A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ √ [解析] 对于①，因为，所以 ， ， 又 ，所以当 时，可得 ， 当 时，可得 ，故①为真命题. 对于②，在正方体中，令平面为 ，平面 为 ，为，为，满足题设条件， 但与 不垂直，与 也不垂直，故②为假命题. 对于③，过作平面 ，使平面与平面 相交，交线不与重合， 记交线为 ，则由线面平行的性质定理可知. 过作平面，使平面与平面 相交，交线不与重合， 记交线为，则由线面平行的性质定理可知 .所以， 因为 ， ，所以 ， 又 ， ，所以，所以 ，故③为真命题. 对于④，在正方体中，令平面为 ， 平面为 ，为，为，满足题设条件， 但与 不垂直，故④为假命题. 所以①③为真命题，故选A. （2）（多选题）如图，在正方体中，为底面的中心， 为所在棱 的中点，，为正方体的顶点.则满足 的是( ) A. B. C. D. [解析] 设正方体的棱长为2. 对于A，如图①所示，连接 ，则， 故（或其补角）为直线与 所成的角. 在直角三角形中，，， 则 ，故不成立，故A不满足题意. √ √ 对于B，如图②所示，取 的中点，连接，， 则，. 由题意知 平面， 因为 平面，所以， 又 ，所以 平面， 因为 平面，所以 ， 又,，所以 平面， 又 平面 ，所以，故B满足题意. 对于C，如图③，连接 ，则， 由B的判断可得，故 ，故C满足题意. 对于D，如图④，取的中点，的中点， 连接,,, , ，,则. 因为，,所以 ，故， 所以或其补角为异面直线与 所成的角. 因为正方体的棱长为2，所以 ， ， ， 所以 ，则不是直角， 所以与不垂直，故D不满足题意.故选 . 自测题 1.[2024·湖北八市联考]如图，在正方体 中，,,分别为,, 的中点，则下列直线中，与平面 垂直的是 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 连接,,,, ，如图所示. 因为,,分别为,, 的中点，所以 ，. 因为 平面 , 平面， 所以平面 . 因为 平面, 平面， ... ...
