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课件网) 微专题6 数列与其他知识的交汇问题 2025 高考第二轮专题 数学 微点1 数列与不等式的交汇问题 例1 [2024·无锡二模] 已知各项均为正数的数列的前项和为 ， 满足 . （1）求数列 的通项公式； 解：由题得，，且， 当 时，,可得， 当 时，②， 得 ， 整理得 ， 因为，所以， 所以数列 是等差数列，其公差为1， 又，所以 . （2）设,为数列的前项和，若 对任意 的恒成立，求 的取值范围. 解：由（1）得 ， 则 ， ， 得 ，所以 . 因为对任意的 恒成立，且， 所以对任意的 恒成立， 令,则， 当时， ，即， 当时，，即 ，所以 ， 所以的最大值为，所以 ， 所以的取值范围为 . 自测题 [2024·邢台二模] 已知数列的前项和为，且 . （1）求数列 的通项公式； 解：当时，，解得 . 当时，由，得 ， 两式相减得，所以， 故 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 . （2）求证： . 证明：由（1）知 ，所以 . 当时， ， 当时，，故 ， 所以 . 综上， . 微点2 数列与函数的交汇问题 例2 [2024·广东五校联考]若 ， 数列的前项和为，且， ，则 ( ) A.76 B.38 C.19 D.0 √ [解析] 因为 ，所以 ， 所以的图象关于点 对称. 因为，所以 ， 所以 ， 所以，所以 ， 又，，所以，， 所以 ，所以， 所以，则 ， 所以 .故选A. 自测题 1.（多选题）函数是取整函数，也被称为高斯函数，其中 表示不超过的最大整数，例如：， .若在函数 的定义域内均满足在区间上， 是一个常数， 则称为的取整数列，称为 的区间数列.下列说法正 确的是( ) A.的区间数列的通项公式为 B.的取整数列的通项公式为 C.的取整数列满足 D.若，则数列的前 项和 √ √ [解析] 对于A，在上，， ，所以 ,； 在上，,，所以 , ；…； 在上，， ，所以 ，所以A错误. 对于B，由选项A知，，所以B正确. 对于C，因为 5 ，所以 ，所以C错误. 对于D，由选项A知， ， 则 ， 所以 ， 两式相减得，所以D正确.故选 . 2.已知幂函数的图象过点，令 , ，记数列的前项和为，则 ___. 5 [解析] 设幂函数 ， 因为的图象过点 ，所以 ，解得， 所以 ，所以 ， 则， 所以，故 . 微点3 数列与几何的交汇问题 例3 已知点列，， ，， 顺 次为抛物线上的点，过点作抛物线 的切线 交轴于点，点在轴上，且点，， 构成以 点 为顶点的等腰三角形. （1）求数列， 的通项公式. 解：，，， 过点 的切线方程为 ， 令，得，则 . 点，，构成以点 为顶点的等腰三角形， ， . （2）是否存在使等腰三角形 为直角三角形 若存在，请求 出 ；若不存在，请说明理由. 解：若等腰三角形为直角三角形，则 ， ，可得 ， 存在，使等腰三角形 为直角三角形. （3）设数列的前项和为，求证： . 证明： ， ， 又 随着 的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为 ， . 自测题 [2024·湖北襄阳模拟] 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香 的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团 用数学软件制作的“蚊香”，画法如下：在水平直线上 作长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点 （第一段圆弧）， 再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点 ， 再以点为圆心， 为半径逆时针画圆弧，以此类推.当得到的“蚊香” 恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为_____. [解析] 由题意可知，每段圆弧的圆心角为， 设第 段圆弧的半径为，则可得, ， 故数列是首项 ，公差的等差数列，则 . 当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 . 1.[2022·新高考全国Ⅱ卷]图①是中国古代建筑中的举架结构， ,,, 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图②是某古代建筑 屋顶截面的示意图，其中,,, 是举，,,,是相等 的步，相 ... ...
