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课件网) 微专题2 平面向量 2025 高考第二轮专题 数学 微点1 平面向量基本定理与线性运算 微点2 平面向量数量积 微点3 平面向量与其他知识的综合问题 微点1 平面向量基本定理与线性运算 例1（1）[2024·浙江绍兴二模]已知四边形是平行四边形， ， 分别是，上的点，且，，记 ， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 在平行四边形中，因为， ， ，， 所以 . 故选A. √ （2）（多选题）[2024·沈阳二模]的重心为点，点， 是 所在平面内两个不同的点，满足 ，则 ( ) A.,,三点共线 B. C. D.点在 的内部 √ √ [解析] ， 因为点为 的重心，所以，所以， 所以,, 三点共线，故A正确，B错误； ， 因为 ，所以 ，即，故C正确； 因为，所以点 的位置随着点位置的变化而变化， 故点不一定在 的内部，故D错误.故选 . 自测题 [2024·吕梁三模]在等边三角形中，点,分别为, 的中点， 若，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为点D,分别为,的中点， , 所以 ， 所以 .故选B. √ 微点2 平面向量数量积 例2（1）[2024·湖北武汉模拟]已知向量,满足 , ，则 ( ) A. B. C.20 D.5 [解析] 因为 ， 所以， 故 .故选A. √ （2）[2024·江苏南京模拟] 已知四边形 是边长为2的菱形， ,为的中点，则 的值为____. [解析] 因为四边形是边长为2的菱形， ，所以 . 因为为的中点，所以 ， 所以 . 自测题 1.[2024·湖南湘潭质检]已知圆的半径为1，，，为圆 上三点， 满足，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ [解析] 取的中点D，连接，，则 ， 又，所以， 所以. 因为 ，所以 .故选B. 2.[2024·东北三省三校二联] 已知，，在 上的投 影向量的坐标为，则向量与 夹角的余弦值为_ ___. [解析] 在上的投影向量为，故 ， 又，所以，即， 得 ,所以, . 微点3 平面向量与其他知识的综合问题 例3 [2024·山东泰安二模] 已知在矩形中，， ， 动点在以点为圆心且与相切的圆上，则 的最大值为__； 若，则 的最大值为___. 3 [解析] 以为原点，，所在直线分别为， 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则 ，，，， . 由题知，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为 ， ， ，， ，解得， 圆的方程为 . 设点的坐标为, ， 则 ， ， 故 的最大值为 . ，， ， ， ， 又，， 故 的最大值为3. 自测题 1.[2024·苏州三模]已知过抛物线的焦点的直线与 相交于 ,两点，轴上一点满足，若为坐标原点，则 ( ) A.1 B.2 C. D. √ [解析] 由题知，直线的斜率不为0， 设直线 的方程为，,,， 由消去 可得，则 因为 ，所以，又, ， 所以， 解得 ，此时， 又，所以 ，故选D. 2.（多选题）已知的内角，，的对边分别为，， ， ，为的重心， ，则( ) A. B. C.的面积的最大值为 D.的最小值为 √ √ √ [解析] 延长交于点D.因为是的重心，所以点D是 的中点，， . 对于选项A， ，故选项A正确； 对于选项B，由得 ， 所以，当且仅当 时等号成立, 又因为 ， 即， ， 所以， 得 ，故选项B正确； 对于选项C，因为 ，当且仅当 时等号成立， ，所以 ，故选项C正确； 对于选项D，由 ， ，得 ， 所以由 ，可得 ，即，当且仅当时等号成立， 所以 的最小值是，故选项D错误.故选 . 【规律提炼】 1.解决向量问题的主要方法有基底法、坐标法、投影法; 2.常规模长、夹角、数量积问题主要是探求公式中的相关量问题; 3.解决含参问题,除了建立方程组,还常借助向量的几何性质或结合图 象处理. 1.[2022·新高考全国Ⅰ卷]在中，点在边上， .记 ,,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为点D在边上，，所以 ， 所以,所以 . √ 2.[2022·新高考全国Ⅱ卷]已知向量,, ,若 ,,,则实数 ( ) A. B. C.5 D.6 [解析] 方法一：如图，设 为坐标原点， ，，， ，连接 ，， 易知四边形 为平行四边形, . 因 ... ...
