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课件网) 微专题3 解三角形 2025 高考第二轮专题 数学 微点1 边角混合式 微点2 最值、范围问题 微点3 正余弦定理在平面几何中的应用 微点1 边角混合式 例1 已知在中，内角,,所对的边分别为,, ,且 （1）求角 的大小； 解：因为 ，所以由正弦定理 得 ， 又,所以 ， 所以 . 因为 ， 所以 ， 又，所以 ， 又，所以 . （2）若,外接圆的直径为4，求 的面积. 解：由题意及正弦定理得，则 ， 由余弦定理得 ， 所以，所以 ， 因为，所以， 故的面积 . 自测题 的内角，，的对边分别为,, ， 已知 . （1）求 ； 解：由已知及正弦定理，得 ， 即 ， 故 ， 可得,所以 . （2）若，的面积为，求 的周长. 解：由已知，得 . 又，所以 . 由已知及余弦定理得，， 故 ,从而 ， 所以的周长为 . 微点2 最值、范围问题 例2 已知的内角，，的对边分别为，，， 为钝角， 且满足 （1）证明： ； 证明：因为 ，所以由正弦定理得 ， 又 ，所以 ， 即 ， 即，即 ， 因为为钝角，所以，， 所以 , , 所以 或 . 若 ，则 ，这与 矛盾，舍去； 若，则，可得 . （2）求 的取值范围. 解：由（1）得 ， 所以由正弦定理得 ， 由即解得，所以 ， 则,故 ，所以的取值范围为 . 【规律提炼】 三角形中常见的求最值、范围问题的解题策略： （1）利用余弦定理,找三角形三边之间的关系,利用基本不等式将
与
相互转化求最值、范围. （2）利用正弦定理,将边化成角的正弦,利用三角恒等变换进行化简， 利用三角函数的性质求最值、范围. 自测题 在中，内角，，的对边分别为，，， . （1）若，证明： ； 证明：因为， ，所以由余弦定理可得 ， 所以，即 ， 所以 . 因为，所以 ， 所以 , 所以 ，得证. （2）若，求 周长的最大值. 解：因为， ，所以由余弦定理可得， 所以，当且仅当 时取等号， 可得 ， 所以周长的最大值为 . 微点3 正余弦定理在平面几何中的应用 例3 已知四边形的外接圆面积为，且, , 为钝角， （1）求和 ； 解：四边形的外接圆面积为,即的外接圆面积为 ， 设的外接圆半径为，则，可得 . 在中， ， 即，故 ， 因为 ，为钝角，所以 为锐角，故 . 在中，由余弦定理得 ， 即 ， 所以，可得 . （2）若，求四边形 的面积. 解： . 因为 ，，所以 ， 在中，由正弦定理得， 即 ，解得， 由余弦定理得 ， 即，可得 ， 故 ， 故四边形的面积为 . 自测题 [2024·晋城一模] 在中，，， . （1）求角 的大小； 解：在中，，， ， ， 又， . （2）求 外接圆的半径与内切圆的半径. 解：设外接圆的半径为，内切圆的半径为 ， 根据正弦定理得 . 根据等面积法有 ，解得， 外接圆的半径为7，内切圆的半径为 . 1.[2024·全国甲卷]记的内角，，的对边分别为,, ,已知 ,,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：因为 , ,所以. 由余弦定理可得 ,即, 所以 , 所以 , 则 ,故选C. √ 方法二：由于 ，则由余弦定理可得 ,即 . 由正弦定理可知 , 所以 将的两边同时除以 可得, 得, 又 ,所以,即 , 所以 . 2.[2022·全国甲卷] 已知中，点在边上， , ,.当取得最小值时， _____. [解析] 方法一：设， 则在 中，， 在 中， ， 所以 ，当且仅当 ， 即时，等号成立，所以当 取得最小值时，. 方法二：令，如图，以为原点， 所在直 线为轴，建立平面直角坐标系， 则 ，， ， 所以 ，当且仅当,即时等号成立， 故当 取得最小值时， . 方法三：设,则，设内角, 的对边分别为, ， 由余弦定理得 所以 ， 令，即，则 ， 所以 ， 所以，当且仅当，即 时等号成立， 所以当取得最小值时， . 方法四：设，则， 在 中， ， 在 中， ， 所以. 记 ，则 ， 由方程有解得 或 所以 ， 所以，此时， 所以当 取得最小值时， . 3.[2024·新课标Ⅰ卷] 记的内角，， ... ...
