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课件网) 微专题4 等差数列、等比数列 2025 高考第二轮专题 数学 微点1 等差、等比数列的判定 例1（1）[2024·陕西西安模拟]等差数列的前项和为 ，且 ，数列 为等比数列，则下列说法错误的是( ) A.数列 一定是等比数列 B.数列 一定是等比数列 C.数列 一定是等差数列 D.数列 一定是等比数列 √ [解析] 数列是等差数列，设其通项公式为 ， 则是定值，所以数列 一定是等比数列， A中说法正确; 数列为等比数列，设其通项公式为 ， 则,所以 是定值， 所以数列 一定是等比数列，B中说法正确; 因为，所以 ，所以数列一定是等差数列，C中说法正确; 当 时，，则 不是等比数列，D中说法错误，故选D. （2）已知数列中，, ，则 ___. 9 [解析] 因为，，所以当 时，，解得， ， 可得， 所以的偶数项是以 为首项，2为公差的等差数列， 所以 . 自测题 1.[2024·湖北武汉模拟]已知数列 ，则“ ”是“数列 是等差数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ [解析] 先判断充分性： , ， 令 ，则, 数列 的偶数项成等差数列， 令 ，则, 数列 的奇数项成等差数列， 但数列不一定是等差数列， “”不是“数列 是等差数列”的充分条件. 再判断必要性： 若数列 是等差数列， 则， ， “”是“数列 是等差数列”的必要条件. 综上，“”是“数列 是等差数列”的必要不充分条件.故选B. 2.已知数列满足，，，数列的前 项和 为，则 ___. 3 [解析] 由题意知，数列 的奇数项构成以1为首项，2为公比的等 比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列， 则，， 故，故 . 微点2 项的性质与和的性质 例2（1）[2024·河北衡水三模]已知数列， 均为等差数列，其 前项和分别为，，满足 ，则 ( ) A.2 B.3 C.5 D.6 √ [解析] 因为数列, 均为等差数列，所以 ，且 ， 又由，可得 ， 因此 .故选A. （2）设是等比数列的前项和，若， ， 则 ___. 5 [解析] 由题意得 . 因为，，， 成等比数列，所以 ， 可得，解得 ，则， 所以，解得 ，故 . 自测题 1.[2024·湖南岳阳质检]已知等差数列的前项和为 ，若 ,，则 ( ) A.有最小值25 B.有最大值25 C.有最小值50 D.有最大值50 [解析] 由 ，可得， 因为,所以等差数列的公差 ， 故,，则 ， 当且仅当时取等号，故 有最大值25.故选B. √ 2.（多选题）[2024·安徽合肥二模] 已知等比数列的公比为 ，前 项和为 ，则( ) A. B.对任意,,, 成等比数列 C.对任意，都存在，使得,, 成等差数列 D.若，则数列为递增数列的充要条件是 √ √ √ [解析] 对于A，当时， ， ，所以， 当 时，， ， 所以，故A正确； 对于B，当 时，，此时,, 不成 等比数列，故B错误； 对于C，当时，,,，故 , ,不成等差数列， 当时，若存在，使,, 成等差数列，则 ，即 ， 整理得， 所以，所以 ，所以对任意， 都存在，使得,, 成等差数列，故C正确； 对于D， ， 若是递增数列，则， 因为 ，所以，可得， 所以若，则数列 为递增数列的充要条件是， 故D正确.故选 . 微点3 等差、等比数列的混合 例3（1）等差数列和等比数列 都是各项均为正实数的无穷数 列，且，，的前项和为，的前项和为 ， 下列说法正确的是( ) A.是递增数列 B. 是递增数列 C. D. √ [解析] 设数列和数列均为常数列1,1,1,1, ，可排除A，B，C. 对于D，设等差数列的公差为，等比数列的公比为 ， 由，可知,，由，可知, ， 又由，，可得，故 ， 所以 ， 故，则 ， 所以， 又，所以 ，所以 .故选D. （2）已知等差数列的前项和为,是等比数列，若 , ，且，则 的最小值为___. 5 [解析] 设等差数列的公差为，因为，所以, ， 又，所以，所以 ， 所以. 因为是等比数列，且 ，所以， 显然，可得，则 ，所以 的最小 ... ...
