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课件网) 专题十二 与圆切线相关的计算证明 类型一 单切线问题 （1）如关联图形①，PA为☉O切线→△PAB∽△PCA. （2）如关联图形②，PA为☉O切线， CD⊥PA→△PAB∽△PCA，△POA∽△PCD， △EAD∽△ACD∽△BCA. 1. 如图，AB是☉O的直径，直线DE是☉O的切线，切点为C，连接 AC. 若AC＝5，tan∠ACE＝ ，则☉O的半径为 . 2. [2024·凉山州]如图，☉M的圆心为M（4，0），半径为2，P为直线 y＝x＋4上一个动点，过点P作☉M的切线，切点为Q，则PQ的最小值 为 . 2 3. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D为AC上一点，以CD为直径 的☉O与边AB相切于点E，连接DE. 若∠A＝30°，则 的值 是 . 4. 如图，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，CD与☉O相切， AD⊥CD于点D，交☉O于点E，CF⊥AB于点F. 若OF＝3，AC＝ 4 ，求DE的长. 解：如图，连接OC，过点O作OG⊥AE于点G. 设☉O的半径为r. ∵CD与☉O相切，AD⊥CD，∴∠OCD＝∠D＝∠OGD＝90°， ∴四边形OCDG为矩形，∴∠GOC＝90°，GD＝OC， ∴∠AOG＋∠COF＝90°.又∵∠OCF＋∠COF＝90°， ∴∠AOG＝∠OCF. 又∵∠AGO＝∠OFC＝90°，AO＝OC， ∴△AOG≌△OCF（AAS），∴EG＝AG＝OF＝3. ∵CF2＝AC2－AF2＝OC2－OF2，∴ －（r＋3） 2＝r2－32，解得r1＝5，r2＝－8（舍去）， ∴GD＝OC＝5，DE＝GD－EG＝5－3＝2. 5. [2024·眉山改编]如图，BE是☉O的直径，点A在☉O上，点C在BE 的延长线上，AD平分∠BAE，交☉O于点D，连接DE，∠EAC＝ ∠ADE. （1）求证：CA是☉O的切线； （1）证明：如图，连接OA. ∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO. 又∵∠EAC＝∠ADE＝∠ABE，∴∠BAO＝∠EAC. ∵BE为直径，∴∠BAE＝∠BAO＋∠OAE＝90°， ∴∠OAC＝∠EAC＋∠OAE＝∠BAO＋∠OAE＝90°， ∴OA⊥AC，∴CA是☉O的切线. （2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长. （2）解：如图，连接BD. ∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△EAC， ∴ ＝ ， 即 ＝ ，解得BC＝16，∴BE＝BC－CE＝12. ∵AD平分∠BAE，∴ ＝ ，∴BD＝ED. 又∵∠BDE＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形，∴DE＝BD＝ BE＝ ×12＝6 . 6. 如图，以AB为直径的☉O上有两点E，F， ＝ ，过点E作直 线CD⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过点C作 CM平分∠ACD，交AE于点M，交BE于点N. （1）求证：CD是☉O的切线； （1）证明：如图，连接OE. ∵ ＝ ，∴∠EAF＝∠EAB. ∵OA＝OE， ∴∠OEA＝∠EAB， ∴∠OEA＝∠EAF，∴OE∥AD. 又∵AD⊥CD， ∴OE⊥CD，∴CD是☉O的切线. （2）求证：EM＝EN； （2）证明：∵OE⊥CD，∴∠OEB＋∠BEC＝90°.∵AB为直径， ∴∠EAB＋∠OBE＝90°. ∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠BEC＝∠EAB. 又∵CM平分 ∠ACD，∴∠MCA＝∠NCE， ∵∠EMN＝∠MAC＋∠MCA，∠ENM＝∠NEC＋∠NCE， ∴∠EMN＝∠ENM，∴EM＝EN. （3）若N是CM的中点，且AB＝9 ，求EN的长. （3）解：∵N是CM的中点，∴CM＝2CN. ∵∠CEN＝∠CAM，∠ECN＝∠ACM，∴△CEN∽△CAM，∴ ＝ ＝ ＝ . ∵∠CEB＝∠CAE，∠ECB＝∠ACE，∴△CEB∽△CAE，∴ ＝ ＝ . 设EN＝x，则EM＝EN＝x，AM＝2EN＝2x，AE＝3x，EB＝ AE ＝ x， ∴AE2＋EB2＝AB2，∴（3x）2＋ ＝ ，解得x1＝6， x2＝－6（舍去），∴EN的长为6. 类型二 双切线问题 如图，PA，PB为☉O的两条切线，该图形经常与“等腰三角形三 线合一”“垂径定理”的结构图形关联使用. （1）如关联图形①，PA，PB为☉O切线→△OCA∽△PCB. （2）如关联图形②，PA，PB为☉O切线→P为BC的中点，OP 为△BCD的中位线，△PAB∽△OAD. 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝13，AB＝12，D为AB 的中点.若以CD上的一点O为圆心作☉O，恰好与AB，AC都相切，则 ☉O的半径为 . 2. 如 ... ...
