2024-2025学年陕西省西安市长庆二中高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设复数满足，则( ) A. B. C. D. 2.已知正方形的边长为，为的中点，则( ) A. B. C. D. 3.已知点是所在平面内一点，点为边的中点，且，，则的值为( ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则( ) A. B. C. D. 5.已知，，且，则向量与的夹角为( ) A. B. C. D. 6.复数在复平面内表示的点如图所示，则使得是纯虚数的一个是( ) A. B. C. D. 7.设的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，，那么外接圆的半径为( ) A. B. C. D. 8.已知，，，若，则( ) A. B. C. D. 9.在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点给出下列四个结论，错误的是( ) A. 存在点，使得平面 B. 对于任意的点，平面平面 C. 存在点，使得平面 D. 对于任意的点，四棱锥的体积均不变 10.已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于( ) A. B. C. D. 11.已知向量，，，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 12.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法画出的图形，，，则平面图形的面积为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知向量，，若与的夹角是钝角，则的取值范围是_____． 14.已知，，向量绕点顺时针旋转到位置，则点的坐标为_____． 15.若复数满足，其中是虚数单位，则 _____． 16.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为_____． 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 Ⅰ已知为虚数单位，计算； Ⅱ已知是复数，与均为实数为虚数单位，求复数． 18.本小题分 中，角、、的对边分别为、、，． 求的值； 若，边上的高为，求的值． 19.本小题分 如图，已知矩形，，，点为矩形内一点且，设． 当时，求证，； 求的最大值． 20.本小题分 已知正三棱锥的高为，底面边长为，其内有一个内切球，球心到该三棱锥的四个面的距离都相等求： Ⅰ棱锥的表面积； Ⅱ球的半径． 21.本小题分 在中，角，，的对边分别是、、，已知，，且． Ⅰ求角的大小； Ⅱ若，的面积，求的值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.解：Ⅰ； Ⅱ设， 为实数， 则， 为实数， 则，解得， 故． 18.解：， ，， ，． 由已知，，，， 又， ， ． 19.解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 当时，， 则，， 则， 故． 设， 则，，， 则， 故 ， 因为， 故当时，取最大值． 20.解：Ⅰ因为正三棱锥的高为，底面边长为， 所以底面正三角形的中心到正三角形边的距离为， 所以侧面三角形的斜高为， 所以棱锥的表面积为； Ⅱ设斜高与高线夹角为，则，解得． 21.解：Ⅰ， ， ， 即， ， ， 即， ，即， 又， ， Ⅱ，由Ⅰ知，， ， 由余弦定理有， ． 第1页，共1页 ... ...
