2024-2025学年陕西省西安市长安一中高一（下）期中 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合正四棱柱，长方体，直四棱柱，正方体，则这些集合间的关系是( ) A. B. C. D. 2.设集合，为虚数单位，，则为( ) A. B. C. D. 3.如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球球与圆锥的底面和侧面均相切的半径为，则( ) A. B. C. D. 4.若函数的两个零点分别为和，则( ) A. B. C. D. 5.设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值是( ) A. B. C. D. 6.已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则( ) A. B. C. D. 7.将正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则( ) A. B. C. D. 8.已知函数为自然对数的底数，则函数的零点个数为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.纯音是指单一频率的声音，纯音的数学模型是函数我们在日常生活中听到的声音，几乎都是复合音，而复合音是由多个频率不同的纯音组成的已知某声音的函数是，则( ) A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 函数的最小值为 10.是边长为的等边三角形，，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 在上的投影向量是 11.设函数，若，则的值可能为( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为_____． 13.已知正四棱台的上下底面分别是边长为和的正方形，侧棱长为，则该正四棱台的体积为_____． 14.使成立的自变量的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数． 求复数的模； 若，求，的值． 16.本小题分 已知向量，，． 求函数的单调递增区间和最小正周期； 若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 17.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知． 求； 若，求面积． 18.本小题分 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：，试求解下列问题． 已知向量满足，求的值； 在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； 已知向量，求的最小值． 19.本小题分 已知函数． 求的值域； 若，求的取值范围； 解关于的方程：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.，或 15.解：， 则； ， 又， ，解得，． 16.解：已知向量，，． 则 ， 令， 解得， 所以函数的单调增区间，最小正周期． 由可设，， 又当时，关于的不等式恒成立， 则， 因为， 所以， 而， 所以当时，取得最大值， 即的取值范围是． 17.解：记的内角，，的对边分别为，，，已知， 根据余弦定理可得， 所以，解得：； 由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 18.解：设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：， 已知向量满足， 由已知，得， 设的夹角为，根据平面向量数量积公式可得， 可得，即， 又，所以， 根据向量新定义计算可得； 在平面直角坐标系中，已知点，，， 设，根据向量模长公式可得，， 设的夹角为，根据两向量夹角公式可得， ， 所以， 又， 所以； 已知向量， 由得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 19.解：根据题目：已知函数， 易知； 因为，所以的值域为， 若，即； 整理得， 令函数，易知函数为奇函数，且在上单调递增， 由可得； 化简得，解得； 故当时，的取值范围为； 解关于的方程，即解方程； 因为，； 所以，； 因此问题等价于解方程，且，； 当时， 若，则，方程无解； 若，则，方程无解； 当时， 经检验方程：，的解是或． 第1页，共1页 ... ...
