专题训练四 平行四边形性质与判定的应用 （含答案）2024-2025学年数学北师大版八年级下册

类型一 平行四边形性质与判定的有关计算 1.[2023秋·眉山期末]如图，在 ABCD中，点E为CD边上一点，且BE＝BC，∠C＝55°，∠EBD＝25°，∠AEB的度数为( B ) 第1题图 A.90° B.95° C.100° D.105° 2.如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F.AB＝6，CF＝2，则CE＝5. 第2题图 3.[2023秋·东港期末]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，若OE＝1，则 ABCD的面积为4. 第3题图 4.如图，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F. (1)求证：CF＝CD； (2)若AD＝13，AF＝10，AD＝2AB，连接DE，求DE的长. 第4题图 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵点F为DC的延长线上的一点， ∴AB∥DF， ∴∠BAE＝∠CFE，∠EBA＝∠ECF. ∵E为BC中点， ∴BE＝CE. 在△BAE和△CFE中， ∴△BAE≌△CFE(AAS)， ∴AB＝CF， ∴CF＝CD； (2)∵CF＝CD，△BAE≌△CFE， ∴AE＝EF，DF＝2CD. ∵AB＝CD，∴DF＝2AB. ∵AD＝2AB，∴AD＝DF. ∵AE＝EF，∴DE⊥AF. ∵AD＝13，AF＝10，∴AE＝EF＝5. ∴DE＝＝＝12. 类型二 平行四边形性质与判定的综合运用 5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边三角形ABD，点E是线段AD的中点，连接CE. (1)求证：四边形BDEC为平行四边形； (2)若AB＝6，求四边形BDEC的面积. 第5题图 解：(1)证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， ∴∠ABC＝60°，BC＝AB， ∵△ABD是等边三角形， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB， ∴∠DAC＝90°， ∴∠DAC＋∠ACB＝180°， ∴AD∥BC， ∵点E是线段AD的中点， ∴DE＝AD， ∴BC＝DE， ∵BC∥DE， ∴四边形BDEC为平行四边形； (2)在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝30°，AB＝6， ∴BC＝AB＝3，AC＝3 ， ∴S平行四边形BDEC＝3×3 ＝9 . 6.[2024春·娄底期末]如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且∠ABE＝∠CDF. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)连接CE，若CE平分∠DCB，DF⊥BC，DF＝4，DE＝5，求平行四边形ABCD的周长. 第6题图 解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠DCF，AB＝CD， ∵∠ABE＝∠CDF， ∴△ABE≌△CDF(ASA)， ∴AE＝CF， ∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF， ∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形； (2)∵四边形BEDF是平行四边形， ∴BF＝DE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵CE平分∠DCB， ∴∠DCE＝∠ECB， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝CD＝5， ∴BF＝DE＝5， ∵DF⊥BC， ∴CF＝＝＝3， ∴BC＝BF＋FC＝5＋3＝8， ∴平行四边形ABCD的周长＝2(BC＋CD)＝2×(8＋5)＝26. 7.在 ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F. (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若CF＝5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长. 第7题图 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥FC. ∵点E是AB边的中点，∴AE＝BE. ∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处， ∴BE＝GE，∠CEB＝∠CEG. ∴AE＝GE， ∴∠FAE＝∠AGE. ∵∠CEB＝∠CEG＝ ∠BEG， ∠BEG＝∠FAE＋∠AGE， ∴∠FAE＝ ∠BEG， ∴∠FAE＝∠CEB， ∴AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形； (2)由折叠的性质，得GE＝BE，GC＝BC， ∵△GCE的周长为20， ∴GE＋CE＋GC＝20， ∴BE＋CE＋BC＝20. ∵四边形AECF是平行四边形， ∴AF＝CE，AE＝CF＝5. ∴四边形ABCF的周长＝AB＋BC＋CF＋AF＝AE＋BE＋BC＋CE＋CF＝5＋20＋5＝30. 8.[2024春·毕节期末]在 ABCD中，连接对角线AC，AF，CG分别是∠CAD，∠ACD的平分线，AF，CG交于点O，E为BC上一点，且∠BAE＝∠DCG. 第8题图 (1)如 ... ...