专题训练一 角平分线常考模型（含答案） 2024-2025学年数学北师大版八年级下册

类型一 角平分线＋垂直一边 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为( B ) 第1题图 A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线.若CD＝，则BD的长为( C ) 第2题图 A. B.3 C.2 D.3 3.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12，则DE的长为( B ) 第3题图 A.4 B.5 C.10 D.28 类型二 角平分线＋垂线 4.如图，△ABC的面积为16 cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积为( B ) 第4题图 A.7 cm2 B.8 cm2 C.9 cm2 D.10 cm2 5.如图，点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝10，BC＝6，则CD的长度为( B ) 第5题图 A.4 B.4 C.5 D.3 类型三 角平分线＋平行线 6.如图，∠AOB＝60°，OA＝4 cm，利用直尺和圆规按如下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交射线OB于点N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧交于点C，画射线OC；③以点A为圆心，AO长为半径画弧，交射线OC于点D，画直线AD.则线段OD的长为4cm. 第6题图 7.[2023秋·海安市期末]如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N.若AB＝5，AC＝7. (1)求∠BOC的度数； (2)求△AMN的周长. 第7题图 解：(1)∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC＋∠OCB＝∠ABC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝90°－∠A， ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝90°＋∠A＝90°＋40°＝130°； (2)∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠CBO， ∴∠ABO＝∠MOB， ∴MO＝BM， 同理，得NO＝NC， ∴AM＋MN＋AN＝AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋BM＋AN＋NC＝AB＋AC， ∵AB＝5，AC＝7， ∴AB＋AC＝12， ∴△AMN的周长＝AB＋AC＝12. 类型四 角平分线＋角平分线 第8题图 8.如图，已知在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为30°. 9.[2024春·碑林区期末]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝15.点P是△ABC三个内角平分线的交点且PD⊥BC于点D，则线段PD的长是3. 第9题图 类型五 角平分线中的最值问题 10.[2024春·来宾期末]如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，OP＝12 cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为6cm. 第10题图 11.[2023秋·滕州市期中]如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝75°，AD，BE为高.点M，N分别为AB，AD上的动点，那么MN＋BN的最小值为1. 第11题图 类型六 角平分线＋对角互补 12.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，试说明： (1)△CBE≌△CDF； (2)AB＋DF＝AF. 第12题图 证明：(1)∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF，∠CEB＝∠CFD. ∵∠ABC＋∠D＝180°， ∠ABC＋∠EBC＝180°， ∴∠EBC＝∠D. 在△CBE与△CDF中， ∴△CBE≌△CDF(AAS)； (2)在Rt△ACE与Rt△ACF中， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)， ∴AE＝AF， ∴AB＋DF＝AB＋BE＝AE＝AF. 13.[2023春·平顶山期中]在“图形与几何”的学习中，我们遇到这样一个题目：“如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD，求证：∠B＋∠ADC＝180°.”结合学过的知识，可以分析如下：首先根据角平分线的性质构造相等线段，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决.请根据上述的思路，完成题目的证明. 第13题图 证明：分别过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥AD交AD的延长线于点N， ∵AC平分∠BAD，∴CM＝CN， ∵BC＝CD， 第13题图 ∴Rt△BCM≌Rt△DCN(HL)， ∴∠B＝∠C ... ...