专题 二次根式 （一）二次根式 （1）二次根式概念：一般地，我们把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】 ①二次根式中，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。 ②二次根式≥0，是一个非负数。 ③二次根式与算术平方根有着内在联系，,（ ≥0）就表示a的算术平方根。 （2）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 （二）二次根式的性质 = 考点1：二次根式的定义 典例1：下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】下列根式是二次根式的是（ ）． A． B． C． D． 【变式2】二次根式的定义：一般地，形如 的式子叫做二次根式，叫做被开方数． 【变式3】若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 考点2：二次根式的定义———求字母 典例2：已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ） A．11 B．12 C．15 D．19 【变式1】如果是一个正整数，则整数的最小值是（ ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【变式2】已知是整数，则自然数所有可能的值的和为 ． 【变式3】若是正整数，二次根式是正整数，则最小值 ． 考点3：二次根式有意义的条件 典例3：当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（ ） A． B． C． D． 【变式1】若x是整数，且有意义，则的值是（ ） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【变式2】如果，那么 ． 【变式3】已知，则 ． 考点4：利用二次根式的性质化简 典例4：若，则的值为（ ） A． B． C． D．2 【变式1】若，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ． 【变式3】在数轴上表示a，b，c三数的点的位置如图所示，化简： ． 【变式4】若关于x的方程有实根，试化简． 【变式5】（1）已知正数a的两个平方根分别是和，求a的值； （2）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．求的值． 【变式6】在下列条件下化简． (1)； (2)； (3)． 【变式7】探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ①_____；_____； 探究：对于任意非负有理数a，_____． ②_____；_____； 探究：对于任意负有理数a，_____． 综上，对于任意有理数a，_____． (2)应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 考点5：复合二次根式的化简 典例5：化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式1】对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式2】阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【变式3】求把根号外数放到根号内的值 【变式4】先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【变式5】阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：_____，_____； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 【变式6】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题， ... ...
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