人教版2024-2025学年八年级数学下册《二次根式》专项训练专题02二次根式的乘除【知识串讲+九大考点】(原卷版+解析)

专题 二次根式的乘除 （一）二次根式乘法法则 二次根式的乘法法则: 【注意】 ①要注意a≥0，b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立； ②同样成立； ③乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：=（a≥0，b≥0） （二）二次根式除法法则 二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 【注意】 ①要注意a≥0，b＞0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。 ②在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： （a≥0，b＞0） （三）最简二次根式 ①被开方数不含分母，例：、； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。 ③分母有理化两种形式：、 考点1：二次根式乘法 典例1：计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； 考点2：二次根式除法 典例2：化简： (1)； (2)． 【变式1】化简： (1)； (2)； (3)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 考点3：二次根式乘除———混合运算 典例3：计算∶ (1)； (2)． 【变式1】计算：； 【变式2】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式4】计算 (1) (2) 【变式5】计算： （1）； （2）． 【变式6】计算： （1） （2） （3） （4） （5）． 【变式7】计算: （1）; （2）; （3） 考点4：最简二次根式的判断 典例4：下列根式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】在下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【变式3】下列二次根式中，不是最简二次根式的有 个． ①； ②； ③； ④. 考点5：最简二次根式的化简 典例5：将二次根式化为最简二次根式为（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】若与最简二次根式可以合并，则 ． 【变式3】已知，，化简 ． 考点6：最简二次根式———求字母 典例6：已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值． 【变式1】已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值． 【变式2】已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 【变式3】若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 考点7：分母有理化 典例7：化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】化简（ ） A． B． C． D． 【变式2】分母有理化： ； 【变式3】化简的结果是 ． 考点8：分母有理化的应用 典例8：【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_____； (2)已知：，则_____； (3)计算：_____ 【变式1】认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【变式2】阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进 ... ...